课件20张PPT。1第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式 2 银杏,是全球中最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.【引例1】3 考古学家根据什么推断出银杏于200多万年前就存在呢?4 当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题: (1)当生物体死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?【引例2】5(2)由以上的实例来推断关系式是 考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体内碳14的含量P的值.这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知识。61.掌握n次根式及根式的概念；（重点）
2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(难点）7探究点1 n次方根的概念 类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 ；25=32，则2叫做32的 .【问题1】4次方根5次方根 ① (±2)2＝４，则称±２为４的 ；
② 23=8，则称２为8的 ；平方根立方根8 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，
其中n＞1，且n∈N﹡. n次方根－2练一练:
(1) －32的五次方根等于_____.
(2)81的四次方根等于____.
(3)0的七次方根等于_____.±30归纳总结91.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；0的奇次方根是0.
2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数没有偶次方根；0的偶次方根是0.方根的性质0的任何次方根都是0，记作 =0. 当n为奇数时，当n为偶数时，10探究点2 根式的概念根式的概念：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.根指数 被开方数根式11 分别等于什么？
一般地 等于什么？ 根据n次方根的意义，可得归纳总结12结论:an开奇次方根,则有结论:an开偶次方根,则有探究点3 根式的运算性质13⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
当n为偶数时， =|a|= . 归纳总结14例 求下列各式的值:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）解：（1）
（2）
（3）
（4）注意符号15根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.【提升总结】16总有意义总有意义1.判断下列式子中正确的是 （1）（4）（6）（8）172.求下列各式的值；；.18
3.若6
4．计算1【解析】原式= 19一般地，如果xn=a，那么x叫做a的
n次方根（n>1，且n∈N* ）. 根式的概念： n次方根的概念：根式的性质： 对于任意正整数当n是奇数时 ；
当n是偶数时根指数 根式被开方数本节课你有什么收获？20 看似平坦的成功之路往往是由无数失败的石头加上努力的柏油铺成的。课件29张PPT。第2课时 指数幂及运算 1.整数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）2.根式的运算性质如果n为奇数，an的n次方根就是a，即如果n为偶数， 表示an的正的n次方根，所以
当 时，这个方根等于a，当a<0时，这个方根
等于-a，1.理解分数指数幂的含义；（难点）
2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（易错点）
3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质；(重点）
4.了解无理数指数幂的意义.探究点1 分数指数幂 我们规定正数的正分数指数幂的意义是： 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就可以从整数指数推广到了有理数指数.思考1.分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂是根式的另一种形式，它们可以互化,通常将根式化为分数指数幂的形式,方便化简与求值.
思考2.在互化公式中根指数与被开方数的指数分别对应分数指数幂的什么位置？
提示：根指数与被开方数的指数分别对应分数指数幂的分母与分子的位置.例1 把下列的分数指数式化为根式，把根式化成
分数指数式.;;;.已知：整数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）探究点2 有理数指数幂的运算性质类比整数指数幂的运算性质我们能得到有理指数幂
的哪些性质？例2 求值：解：【变式练习】例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指数幂的运算法则解决.解：用分数指数幂表示下列各式：【变式练习】例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的意义求解.解：熟记运算性质计算下列各式的值：解：【变式练习】例4.计算下列各式：解：熟记运算性质1.对根式的运算，应先将根式化为分数指数幂，再根据
运算性质进行计算，计算结果一般用根式表示.
2.既含有分数指数幂，又有根式的式子，应该把根式
统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中
根指数不同，也应化为分数指数幂的形式，但最后结
果还应以根式为最终形式．【提升总结】【提升总结】a∈Ra0=1a∈R且a≠0a∈R且a≠0m为奇数a∈Rm为偶数a≥0m为奇数m为偶数a∈R且
a≠0a>0探究点3 无理数指数幂当幂指数是无理数时， 是一
个确定的实数，无理数指数幂可以由有理数指数幂
无限逼近而得到，有理数指数幂的运算法则对无理
数指数幂也成立.观察表格： 是否表示一个确定的实数？ 由表格可以看出： 可以由 的不足近
似值和过剩近似值进行无限逼近.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.2.用分数指数幂表示下列各式：3. 计算下列各式的值：解：4.求下列各式的值.解：（1）原式=（2）原式=1.分数指数幂是根据根式的意义引入的，正数的正分
数指数幂的意义是 ，正数的负分数指数幂的
意义是 ，零的正分数指数幂是零，负分数指
数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算法则是： 成功和失败本是同一片旷野，它是会令你溺水的深潭，也是能为你解渴的甘泉。课件28张PPT。2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质 某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个分裂成４个，…，一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的个数ｙ与ｘ的函数关系式是： .......实例1 《庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其
半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
次，剩余长度y与x的关系是 . 实例2截取
次数木棰
剩余1次2次3次4次x次1.理解指数函数的概念 ； （重点）
2.掌握指数函数的图象和性质 ； （重点、难点）
3.培养学生实际应用函数的能力； 形如y=2x， 的函数是指数函数.那么，指
数函数是怎样定义的呢？ 一般地，函数____（a＞０，且a≠１）叫做指数函
数，其中x是自变量，函数的定义域是__.探究点1 指数函数的概念y=axR思考1：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
提示：若a=0，
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x= (n∈N*)在
实数范围内函数值无意义.
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研究的必
要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.思考2：要确定函数y=ax(a>0,且a≠1)的解析式，关键需要确定哪个量？
提示：要确定函数y=ax(a>0，且a≠1)的解析式，关键需要确定底数a的值..（2）例1 下列函数中是指数函数的函数序号是注意三点：
（1）底数：大于0且不等于1的常数；
（2）指数：自变量x；
（3）幂系数为1.系数为1底数为正数且不为1自变量仅有这一种形式例2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象经过点(3,π)，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.解：指数函数的图象经过点(3,π)，有f(3)=π，
即 a3=π 解得
于是所以用描点法作出下列两组函数的图象，
然后写出其一些性质：１.如何来研究指数函数的性质呢？探究点2 指数函数的图象011…0.0370.11
0.33
13927…
y=3-x…2793
10.330.110.037…
y=3x…321
0
-1
-2
-3
…
x(2) 与 的图象. 列表：图象关于y轴对称关于y轴对称y=ax (01)0101 图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展（3）都经过坐标为（0，1）的点（2）图象都在x轴上方图象自左至右逐渐上升图象自左至右逐渐下降（2）在R上是减函数（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质（0，+∞） 值域R定义
域
图象a>10(1)指数函数图象的巧记方法:一定二近三单调,两类单调正相反.
(2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调,性质不同因为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依靠图象记性质.【提升总结】例3.比较下列各题中两个值的大小解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73。(2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2。(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1根据指数函数的性质用“＞”或“＜”填空：＞＞＜＜【变式练习】 2. 函数 是指数函数,则a=_____.1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( )B33.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取
值范围是( )
A.m≤-1 B.-1≤m＜0
C.m≥1 D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.A解：ｃ,ｄ大于１
且ｃ＞ｄ
ａ,ｂ大于０小于１
且ｂ＜ａ
∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ
结论：当a>1时,图象越靠近ｙ轴，底数越大;
当0的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是________________. ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ一般地，函数y=ax（a＞0,且a≠１）叫做指数函数.1.指数函数的定义2.指数函数的图象和性质底数图象
定义域R值域性质（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数水若长流能成河，山因积石方为高课件24张PPT。1第2课时 指数函数及其
性质的应用 2 一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠１）叫做指数函数.1.指数函数的定义3（2）在R上是减函数（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质（0，+∞） 值域R定义域
图象a>102.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用； (重点）
3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用.（难点）5探究点1 指数函数在实际问题中的应用例1.截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年之后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行具体计算.6解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.1999年底，我国人口数约为13亿.经过1年（即2000年），人口数为经过2年（即2001年），人口数为（亿）；（亿）.7经过3年（即2002年），人口数为……所以，经过x年，人口数为当x=20时， （亿）。所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。（亿）；（亿）8 在实际问题中，经常会遇到类似本例的指数增
长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x
次增长，该量增长到y，则 形
如 的函数是一
种指数型函数，这是非常有用的函数模型。【提升总结】9普通纸140张的厚度大约是1厘米，一张纸足够大，可以任意折叠的纸，折10次后纸张的厚度为多少米？【变式练习】10探究点2 人口增长率问题的进一步探究（1）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别计算2020到2100年，每隔5年相应的人口数。以例题中计算的2020年我国的人口数16亿为基准。这时函数模型是2025年的人口数是2030年的人口数是112035年的人口数是2040年的人口数是2045年的人口数是2050年的人口数是2055年的人口数是2060年的人口数是2065年的人口数是122070年的人口数是2075年的人口数是2080年的人口数是2085年的人口数是2090年的人口数是2095年的人口数是2100年的人口数是13（2）你看到人口的增长呈什么趋势？我们使用软件画出函数 的图象从这个图象上可以看出随着x的增大，函数值的增长越来越快，呈现一种“爆炸式”的增长趋势。xyO14探究点3 指数函数在解题中的应用例2.三个数 的大小顺序是（ ）.分析：根据指数函数的性质，注意采用中间值0和1进行比较。解：所以，B15三个数 的大小顺序是（ ）.解析：注意与1的比较！B【变式练习】16例3.解下列不等式：分析：根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式.解：（1）由 ，得根据指数函数的单调性得解这个不等式得17（2）当01时，根据指数函数的单调性得不等式3x-1≤2x-4，解这个不等式得x≤-3.所以，当0当a>1时，不等式的解集是x≤-3.18 本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论.【提升总结】19203. 解方程 __解：
解方程得x=1 1214.某工厂现在的年利润是1 000万元，该工厂年利润的增长率是20%，则10年后该工厂的年利润是多少万元？（精确到万元）答案：221.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数函数的底数大于1时，随着自变量的增加，函数值呈现“爆炸式”增长.2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值0、1进行比较.233.解指数不等式或者指数方程时，要注意根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式或者代数方程求解，在底数不确定时要注意分类讨论，这里体现了化归转化思想和分类讨论思想.24 除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。