课件25张PPT。2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数 把纸沿着中线对折，若要使折得页数为128页，需折多少次？如何求 的值呢？实例1 我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…….1个这样的细胞分裂x次后,得到细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x，x∈N表示。实例2 反过来,1个细胞经过多少次分裂,大约可以得到8个、1 024个、8 192个……？已知细胞个数为y，如何求分裂次数x?1248=2xy=2x…1 024=2x8 192=2x2x=8, x = ？
2x=1 024,2x=8 192， x = ？ 为了解决这类问题，引进一个新数——对数． 这是已知底数和幂的值，求指数的问题，
即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题，
这里1.理解对数的概念；（重点）
2.能够说明对数与指数的关系；
3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点）
4.掌握对数的性质.(重点） 一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫
做以a为底N的_____，记作x=_____.
其中a叫做对数的_____，N叫做_____.探究一 对数的概念对数logaN底数真数思考1：式子ax=N与x=logaN中，a,N的取值范围如何？
提示：a＞0，且a≠1,N＞0. 底数真数对数思考2：对数概念中为什么规定a＞0,且a≠1？
提示：若a＜0，则N为某些值时，
x的值不存在,如x=log-28.
x=logaN可化为ax=N，当a=0时，
若x=0，则无意义；
当a=1时，无论x取何值，N都为1,没有研究的必要，故规定a＞0，且a≠1.常用对数与自然对数的定义(1)以___为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为:lg N.
(2)以__为底的对数称为自然对数.
为了方便,N的自然对数logeN简记为:ln N.10e叫做指数式,叫做对数式. 当时， 底底指数对数幂真数指数式与对数式的互化探究二 对数与指数的关系对数的性质：例1.将下列指数式化为对数式指数式与对数式是互逆运算将下列指数式转化为对数式：(1)log31=0(2)log81=00(3)log0.51=0(4)log2.91=你发现了
什么?“1”的对数等于零,即loga1=0.(1)30=1;(2)80=1;(3)0.50=1;(4)2.90=1.【变式练习】例2.把下列对数式化为指数式： 解： 注意相互转化例3 求下列各式中x的值： 例4 求下列对数的值：（1）（2）解:求下列各式的值：(1)log22=1(2)log1616=11(3)log0.50.5=1(4)log99=你发现了什么?底数的对数等于“1”,即logaa=1【变式练习】【提升总结】求对数值的方法与步骤
（1）方法：直接根据定义求.
（2）一般步骤设化解答设出所求对数值把对数式转化为指数式解指数方程总结得结果1.下列指数式与对数式互化不正确的是（ ）.C（4） 2.求下列各式的值（1） （3） （2） = ； = ； = ； = . 02323．求下列各式中的x.解请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？1．对数的定义2．掌握指数式与对数式的互化 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数).3．掌握对数的性质.(a>0,且a≠1) 进步是从看到自己的落后开始的；高明是从解剖自己的弱点开始的。课件35张PPT。第2课时 对数的运算底底指数对数幂真数上一节中我们学习了：
1.指数和对数的关系2.对数的性质：（2）负数和零没有对数（1）（3）（4）已知指数运算法则 ：1.理解对数的运算性质；（重点）
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.（难点）
3.了解对数在简化运算中的作用.探究：对数的运算性质思考1：化为对数式，结合指数的运算性质能否将
化为对数式？将指数式试一试:由得由得从而得出思考2：结合前面的推导，由指数式又能得到什么样的结论？试一试:由得又能得到什么样的结论？试一试:由得思考3：结合前面的推导，由指数式思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; N>0)证明：设 由对数的定义可得： 即证得 这个公式叫做换底公式结论：对数的运算性质(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;用 表示下列各式:【变式练习】解：点评：牢记对数的运算法则，直接利用公式.例2 求下列各式的值：（1） （2） 解：(1)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).【提升总结】（1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值：【变式练习】解:2.利用对数的换底公式化简下列各式思考B其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.例4.20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为 （1）假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.解:(1)因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由可得当M=7.6 时，地震的最大振幅为当M=5时，地震的最大振幅为所以，两次地震的最大振幅之比是答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的
398倍。可以看到，虽然7.6 级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以,7.6 级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例5.生物机体内碳14的“半衰期”为5 730年.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代.1x2x23x3………txt解：设生物死亡时，每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：因此，生物死亡t年后体内碳14的含量…由计算器可得t≈2 193.
所以，马王堆古墓是近2 200年前的遗址.82....1.对数的运算法则；
2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则；
3.对数运算法则的应用；
4.换底公式的证明及应用.积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，且a?1，M>0，N>0,那么：(c>0,且c≠1) 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。课件29张PPT。2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个,……,1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数
y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数
___________表示.124y=2x……y=2x,x∈N 反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个细胞？已知细胞个数y，如何求细胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些问题吧！1.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点.（重点）
2.知道对数函数是一类重要的函数模型；
3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0,且a≠1)．（难点） 一般地，我们把函数___________________叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
_____________探究1：对数函数的定义注意:（1）对数函数定义的严格形式;
（2）对数函数对底数的限制条件：y=logax(a>0,且a≠1)（0，+∞）．思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？
提示：对数函数的解析式具有以下三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；
(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1；
(3)logax的系数是1.探究2：对数函数的图象和性质（1）作y=log2x的图象列表作图步骤: ①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接.描点连线21-1-224Oyx31描点连线21-1-2124Oyx3 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 这两个函数的图象关于x轴对称
… … … … … … 14探索发现:认真观察函数y=log2x
的图象填写下表21-1-2124O
y x3定义域:(0,+∞) 值 域:R增函数在(0,+∞)上是图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升探索发现:认真
观察函数
的图象填写下表定义域:( 0,+∞) 值 域:R减函数在(0,+∞)上是图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降21-1-2124Oyx3对数函数 的图象.猜一猜: 21-1-2124Oyx3图 象 性 质a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1定义域: 值 域:过定点:在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质(0,+∞)R(1,0), 即当x＝1时,y＝0增函数减函数例1：求下列函数的定义域：
（1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x). 分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为
（0，+∞）求解.（1）因为x2>0,所以函数y=loga(4-x)的定义域是所以函数y=logax2的定义域是（2）因为4-x>0,{x│x<4}. 即x<4，{x│x≠0}.即x≠0，解求下列函数的定义域：【变式练习】（2）因为x>0且 ,解：（1）因为1-x>0,即x<1,所以函数y=log5(1-x)的定义域为{x|x<1}.所以函数 的定义域为{x|x>0,且x≠1}.即x>0且x≠1,所以函数 的定义域为 . 所以函数 的定义域为（3）因为 ，即 ,（4）因为x>0且 ,即 由具体函数式求定义域,考虑以下几个方面：
（1）分母不等于0；
（2）偶次方根被开方数非负；
（3）零指数幂底数不为0；
（4）对数式考虑真数大于0；
（5）实际问题要有实际意义.【提升总结】例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log23.4,log28.5
(2) log0.31.8,log0.32.7
(3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 )解:⑴考查对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5⑵考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7当0＜a＜1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 当a＞1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 于是loga5.1＜loga5.9于是loga5.1＞loga5.9(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是大于0小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤
(1)确定所要考查的对数函数；
(2)根据对数底数判断对数函数的单调性；
(3)比较真数大小，然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小．【提升总结】2.分类讨论的思想的适用情况
（1）利用对数函数的增减性比较两个对数的大小时；
（2）对底数与1的大小关系未明确指出时；
（3）要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小时.（1）log0.56_____log0.54
（2）log1.51.6______log1.51.4
（3）若log3m
（4）若log0.7m<>1.填空：D3. 函数y＝loga(x＋1)－2 (a＞0, a≠1)
的图象恒过定点 . 4.求函数的定义域。所以函数的定义域为通过本节的学习，说出你的收获。对数函数图 象性 质概 念 即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。课件26张PPT。第2课时 对数函数及其性质的应用 火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的函数关系是：对数函数模型（一）生物学家研究发现:洄游鱼类的游速v和鱼的耗氧量O之间的函数关系:对数函数模型（二）溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的,pH值的计算公式为:对数函数模型（三）1.进一步理解对数函数的图象与性质；(重点）
2.熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（难点）
3.了解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解． （1）对数函数的定义：函数________(a＞0,且a≠1)叫做对数函数，定
义域为(0,＋∞)，值域为R.1.温故知新y＝logax图 象 性 质a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1定义域: (0,+∞) 值 域: R过点(1,0), 即当x＝1时,y＝0在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图象与性质例1. 函数y=lgx的图象向____平移____个单位得
到函数y=lg(10x)的图象.2.图象和性质的应用【解析】∵y=lg(10x)=lgx+1,∴y=lgx的图象向上平移一个单位可得到函数y=lg(10x)的图象.上1已知函数f(x)=|lgx|,若a≠b，且f(a)=f(b),则ab
的值为 .【解析】如图，由f(a)=f(b),得|lga|=|lgb|.
不妨设0＜a＜b,则lgb=-lga,
∴lga+lgb=0,
∴ab=1.1【变式练习】例2：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log67与log76解:(1)∵log67＞log66=1, 且log76＜log77=1, ∴log67 ＞log76.（2）log3π与log20.8(2)∵log3π＞log31=0,且log20.8＜log21=0, ∴log3π＞log20.8.（3）log27与log37（4）log0.20.8 与log0.30.8(3)(4)两个对数比较大小1.同底数对数比较大小：
一底二真三单调
2.不同底数的对数比较大小（数的比较大小）
一看符号（与0比较）
二看与中间量“1”
三连（用“>”,“<”连接起来）【提升总结】若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为__________.【解析】因为f(x)=log0.2x为减函数，且0.2＜0.3＜1＜4,
则log0.20.2＞log0.20.3＞log0.21＞log0.24,
即1＞a＞0＞c.同理log26＞log22=1，可知结果.b＞a＞c【变式练习】3.溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为
pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7
摩尔/升，计算纯净水的pH.lg[H+]增大，从而-lg[H+]减小，解：（1）根据对数函数的性质，在(0,+∞)上，随
着[H+]的增大,所以，溶液中氢离子的浓度越大，pH就越小，即溶液的酸性越强。（2）当[H+]＝10－7时，pH=-lg10-7=7,所以，纯净水的pH是7.于是由pH=-lg[H+]知，pH随着[H+]的增大而减小，函数x=log2y,y是自变量，x是y的函数，定义域为(0,
＋∞)，值域为R.函数y＝2x,x是自变量，y是x的函数，定义域为R，
值域为 (0, ＋∞).4.探究：对数函数与指数函数之间的关系这时称函数x=log2y是函数y＝2x的反函数.在函数x=log2y中，y是自变量，x是函数.但是习惯上，通常用x表示自变量，y表示函数.为此,常常对调函数x=log2y中的字母x与y把它写成函数y=log2x.这样对数函数y=log2x与指数函数y＝2x互为反函数.推广 对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数.定义域与值域对换1.函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是( )A.B.11Oxy11Ox11OyD.C.11OxyC···xy2. 下列四个数中最大的是( )
A.lg2 B.lg
C.(lg2)2 D.lg(lg2)
【解析】由对数函数的增减性可知:lg lg2>lg1=0,∴lg2最大.A则m___n;则m___n. 3.比较下列各题中两个值的大小: <><>4.若函数f(x)＝logax (a>0且a≠1)在区间[a, 2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值. 解：当a>1时，f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数，综上所述， 或当02.对数函数单调性的灵活应用；
3.对数函数与指数函数互为反函数． 在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。