课件33张PPT。第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…… 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法今天我们来学习方程的根与函数的零点！1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）
2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点）
3.会求函数的零点.（重点）探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0y=x2-2x+3函数的图象
与x轴的交点xy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c
=0(a＞0)的根函数y=ax2+bx
+c(a＞0)的图象判别式Δ=
b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象
与x轴的交点有两个相等的
实数根x1=x2没有实数根(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等
的实数根x1、
x2一般结论 一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：注意：零点不是一个点
零点指的是一个实数方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
?函数y＝f(x)有零点方程 的根是函数 的图象与 轴的
交点的横坐标.由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.零点是对于函数而言，根是对于方程而言．例1 函数f(x)=x(x－4)的零点为（ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0
C．(4，0)，(0，0)， D．4，0
D由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.探究：如何求函数的零点？哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？ （1）（2）如何求函数的零点？1234512345xyO-1-2-1-4-3-2观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（填“＜”或
“＞”）． x=－1－45函数 在区间 上存在零点？有<有<有<①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或
“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零
点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零
点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)
零点；有abc【提升总结】如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.（ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.
（ ）如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的. （2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）abOxy可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。 如图, （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)< 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.如图, 若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象
是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,
b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )
A.大于0 B.小于0
C.无法判断 D.等于0C 【变式练习】由表可知f(2)<0，f(3)>0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解：-4-1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 912.079 414.197 2方法一f(x)=lnx+2x－6从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．108642-2-4512346xyOy=－2x+6y=lnx即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.方法二： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.【提升总结】求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)． 解：求方程 的根的个数，即求方程
的根的个数，即判断函数
与
的图象交点个数.由图可
知只有一个解.【变式练习】估算f(x)在各整数处的取值的正负：令由上表可知，方程的根所在区间为－ +＋＋Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.无数个（ ）ＣＢ（ ）3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（ ) A.(-2，-1) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)B4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】∵f(x)=2x+3x,∴f(-1)=- ＜0,
f(0)=1＞0.?B方程有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数
有零点.零点的求法 代数法、图象法 如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。课件25张PPT。13.1.2 用二分法求方程的近似解 2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？3 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？想一想4?设闸房和指挥部的所在处为点A,B, 这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半 要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电杆附近，最多查几次就可以了？ 7次取中点这种解决问题的方法，就是二分法.51.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤.（重点）
2.会用方程求方程的近似解，并能用计算器辅助求解; (难点）
3.会用二分法思想解决其他的实际问题.6已知函数f(x)=ln x+2x-6在区间（2，3）内有零点. 问题：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？ 列出下表：（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.562 5f(2.562 5)>0f(2.5)<0,f(2.562 5)>0（2.5，2.562 5）f(2.531 25)<02.531 25 7问题：如若要求精确度为0.01，怎么找零点？8（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.562 5f(2.562 5)>0（2.531 25，2.562 5）f(2.5)<0
f(2.562 5)>0（2.5，2.562 5）f(2.531 25)<0
f(2.562 5)>0f(2.531 25)<02.539 062 52.546 875（2.531 25，2.546 875）2.531 25 f(2.539 062 5)>0f(2.531 25)<0
f(2.546 875)>0（2.531 25，2.539 062 5）f(2.546 875)>0f(2.531 25)<0,
f(2.539 062 5)>0列出下表：9由于所以，可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似根.注意精确度10 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.二分法的定义：定义如下：
对于在区间[a,b]上_________且f(a)·f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近
_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
（bisection）.连续不断一分为二零点111.确定区间 ，验证 ，给定精确度 .2.求区间（a,b）的中点c.3.计算（1）若 ，则c就是函数的零点.（2）若 ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)).（3）若 ,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).即若 ，则得到零点近似值a(或b）；4.判断是否达到精确度 ：否则重复步骤2～4．给定精确度 ,二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤：12 用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解寻找解所在区间的方法：
（1）图象法:先画出y = f(x)的图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围.
（2）函数法:把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.【提升总结】13例1.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)= 2x+3x-7，用计算器或计算机作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下：14因为f(1)·f(2)<0，所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）内有零点x0,取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0 ∈（1，1.5）15取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,
f(1.25)≈-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，
x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.16【变式练习】利用计算器，求方程lg x=3-x的近似解.（精确度0.1）.解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，
且这个解在区间（2，3）内.设 f(x)=lgx+x-317因为|2.625-2.562 5|=0.062 5<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近似解.（2，3）f(2)<0，f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0，f(2.625)>02.562 5f(2.562 5)<0（2.562 5，2.625）f(2.562 5)<0，
f(2.625)>0列出下表：18请思考利用二分法求函数零点的条件是什么？1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断.2.y=f(x)满足f(a)·f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.注意用二分法的条件【提升总结】191. 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用
二分法求其零点的是（ ）C202.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解
（精确度0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2, 算得
f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分法”又
取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判
断：方程的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值
中最后一个值是________.1.812 5213.用二分法求函数在区间（0，1）内的零点（精确度0.1）.22取区间(0,1)的中点所以近似零点可取为0.6875.再取区间(0.5,1)的中点231.二分法的定义.
2.用二分法求函数零点近似值的步骤.
3.逐步逼近思想.
4.数形结合思想.
5.近似与精确的相对统一. 24定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办? 精确度上来判断.口 诀25 世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
