四川省成都七中2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题

成都七中2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题
考试说明:
（1）考试时间:120分钟,试卷满分:150分;
（2）请将选择题答案涂在答题卡上,将非选择题答在答题卡相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题,共50分)
参考公式：
球的表面积公式:;球的体积公式:.其中表示球的半径.
一、选择题:(本大题有10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 下列命题正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
2. 下列命题中正确的个数是( )
(1) 角的水平放置的直观图一定是角.
(2) 相等的角在直观图中仍然相等.
(3) 相等的线段在直观图中仍然相等.
(4) 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 若直线a不平行于平面?,则下列结论成立的是( )
A.?内的所有直线都与直线a异面. B.?内不存在与a平行的直线.
C.内的直线都与a相交. D.直线a与平面有公共点.
4. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )
A.π B.π＋ C.π＋ D.π＋
5. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面
6．已知两个平面垂直,下列命题:
(1) 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意直线.
(2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
(3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.
(4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
7．如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则图中执行框内①
处和判断框中的②处应填的语句是( )
A.n=n+2,i=15 B.n=n+2,i>15
C.n=n+1,i=15 D.n=n+1,i>15
8．已知直角三角形ABC,其三边分为a、b、c(a>b>c).分别以三角形的a边,
b边,c边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,
其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3.则它们的关系为( )
A．S1>S2>S3, V1>V2>V3 B．S1>S2>S3, V1=V2=V3
C．S19．a和b是两条异面直线,下列结论正确的个数是( )
(1) 过不在a、b上的任一点,可作一个平面与a、b都平行.
(2) 过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都相交.
(3) 过a可以并且只可以作一个平面与b平行.
(4) 过不在a、b上的任一点,可作一条直线与a、b都垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
10．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，
则下列结论中错误的个数是( )
(1) AC⊥BE.
(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.
(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值.
(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40?并且与平面BEF所成角为50?的直线有2条.
A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、 填空题:(本大题有5个小题,每小题5分,共25分)
11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,则MN的长为 .
12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为12π,则这个正四棱柱的体积为 .
13．执行如下图的程序框图,那么输出S的值是________.


14．已知圆台的上底半径为2cm,下底半径为4cm，圆台的高为cm,则侧面展开图所在扇形的圆心角=______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
(1)如图,?ABC在平面?外,AB∩?=P,BC∩?=Q,AC∩?=R,求证:P,Q,R三点共线.




(2)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点, 且EH与FG相交于点K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.





17．(本题满分12分)
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.





18．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB＝，
BD＝BC＝1， AA1＝2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点．
(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；
(2)当DF为何值时，EF与BC1所成的角为90°？





19．（本小题满分13分）
如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点,
DE⊥平面CBB1.
(1) 证明:DE∥平面ABC;
(2)求四棱锥C—ABB1A1与圆柱OO1的体积比;
(3)若BB1=BC,求直线CA1与平面BB1C所成角的正弦值.





20．（本小题满分13分）
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°
的 角,AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点,
且BE=BC1.
(1)求证:GE∥侧面AA1B1B;
(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值;
(3)求点B到平面B1GE的距离.







21．（本小题满分13分）
如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜
边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形.
(1)当正视图方向与向量的方向相同时，画出三棱锥A—BCD的三视图;(要求标出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30°角？
若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.















一、选择题：（每小题5分）1-5C B D C A 6-10CBCB A
二、填空题：（每小题5分）11. 12. 8 13. -1 14. 15. 2
三．解答题：
16．（1）



（2）

（ 每小问各6分）
17．(1)证明:如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)?CQD为二面角的平面角余弦值为. （ 每小问各6分）
18．（ 每小问各6分）
解析：方法1：(1)连接EC1.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥BC1，
则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角．
?BE⊥侧面DCC1D1?BE⊥EC1.
在Rt△BEC1中，BE＝＝，EC1＝＝，
所以tan ∠EBC1＝＝3.
(2)当DF＝时，EF与BC1所成的角为9 0°.
由(1)知，BE⊥侧面DCC1D1?BE⊥EF.又DE＝EC＝，CC1＝AA1＝2.
当DF＝时，因为＝＝，＝2＝，
所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF＋∠CEC1＝90°，
所以∠FEC1＝90°，即FE⊥EC1.又EB∩EC1＝E，所以EF⊥平面BEC1，
所以EF⊥BC1，即EF与BC1所成的角等于90°.
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以sin 〈，〉＝，所以tan 〈，〉＝3，
即AD1与BE所成的角的正切值为3.
设F(0，1，q)，则＝ (－，，q)．又＝(1，0，2)，
由·＝(－)×1＋0×＋q·2＝0，得q＝，
即DF＝时，EF⊥BC1.
19．(1)如图,连接分别为的中点,是的中位线,且.
又,故//且,
四边形是平行四边形,即,
又. ……3分
(2)如图,连接.由题知,且由(1)知,
, .
?是底面圆的直径,.又是圆柱的母线,
,,,
即为四棱锥的高.
设圆柱高为,底面半径为,则,
. …… 5分
(3)如图,作过的母线,连接,则是上底面圆的直径,连接,则,又,连接,则
为直线与平面所成的角.
, 在中,.
直线与平面所成角的正弦值为. …… 5分
20．解法1:(1)延长B1E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC1,
∴BF=B1C1=BC, 从而点F为BC的中点.
∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,
又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B. …… 4分
(2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,
∴B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H=
在底面ABC内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连B1T,由三垂线定理有B1T⊥AF,
又平面B1CE与底面ABC的交线为AF,∴∠B1TH为所求二面角的平面角.
∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH.在Rt△B1HT中,,
从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为. …… 5分
(3)用等积可求得点B到平面B1GE的距离是. …… 4分
以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,
则,,,,
,. ∵G为△ABC的重心,
∴.,∴,
∴. 又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.
(2)设平面B1GE的法向量为,则由得
可取 又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.
由于为锐角,所以,进而.
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为.
(3) 由（2）可知平面B1GE的法向量为 ， ，
所以点B到平面B1GE的距离：


…… 4分

21．(1) 三棱锥A—BCD的三视图如右图所示： …… 3分
(2)解设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由n1⊥知：n1·＝－x＋y＝0，
同理由n1⊥知：n1·＝－x－z＝0，
可取n1＝(1,1，－1)，
同理，可求得平面ACD的一个法向量为
n1＝(1,0，－1).
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
即二面角B—AC—D的余弦值为. …… 5分