课件34张PPT。13.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型 21859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番.31950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.
这种现象在数学上可以用什么函数表示呢？
请进入本节的学习！41.利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异.(重点）
2.结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问题. (难点）5实例1：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？6方案三可以用函数 进行描述.设第x天所得回报是y元，则
方案一可以用函数 进行描述；思路分析：2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？方案二可以用函数 进行描述；73.三个函数模型的增减性如何？
4.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？8x/天92y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－110 由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.读图和用图 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多.11这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多；第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.12下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三.天数回报/元方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.813实例2：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x，
其中哪个模型能符合公司的要求？14某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可.思路分析：151．x的取值范围，即函数的定义域．2．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？的图象.解:借助计算器或计算机作出函数思考：16812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx17观察图象发现，在区间[10 ,1 000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模
型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模
型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求，下面通过
计算确认上述判断.18计算按模型y=log7x+1奖励时，
奖金是否不超过利润的25%，
即当x∈[10,1 000]时，是否有
成立 19 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1 000]上递增，而
且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符
合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可
知在区间（805，806）内有一个点x0满足 由于
它在区间[10,1 000] 上递增，因此当x>x0时，y>5,所以该
模型也不符合要求；
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上递增，而且
当x=1 000时，y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总
数不超过5万元的要求. 20令 综上所述，模型 确实能符合公司要求.时， 所以,当 说明按模型奖励,奖金不会超过利润的25% 利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象由图象可知它是递减的， 因此 即 21探究： 指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象（a=2).222.结合函数的图象找出其交点坐标. 从图象看出 y=log2 x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，y=x2的图象与 y=2x 的图象有两个交点(2，4)和（4，16）.ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2 x差异明显233.根据图象,分别写出使不等式
log2 x<2x
1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.【提升总结】27对于对数函数 y=loga x（a>1)和幂函数y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有logax1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大，y=ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
因此总会存在一个x0，当x>x0 时，就有logax0)的增长快于对数函数 y=logax(a>1)的增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.291.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)，下列说
法正确的是 ( ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快
B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢
C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数y＝xn与
y＝ax的增长速度
D. 以上都不正确 B30 2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如
果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作
时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.
现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第
5轮病毒发作时可能有__________台计算机被感染.解析：10×204=1 600 0001 600 000313.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅
行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半
票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按
原价 优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就
家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家
旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.32【解析】设家庭中孩子数为x(x≥1,x∈N*)，
旅游收费为y,旅游原价为a.
甲旅行社收费：
乙旅行社收费：
∴当x=1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时,甲旅行社更优惠.33 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．34 修凿可以使道路平直，但只有崎岖的未经修凿的道路才是天才的道路。课件24张PPT。13.2.2 函数模型的应用举例
第1课时 一次函数、二次函数、
幂函数模型的应用举例2到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数（a≠0）思考:一次函数、二次函数、幂函数型的应用问题该如何解决？31.了解一次函数、二次函数、幂函数的广泛应用并求解实际问题. (重点）
2.掌握求解函数应用题的基本步骤. (难点）
3.掌握对数据的合理处理，建立函数模型. (难点）4t/h13452102030407060508090例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示v/(km·h-1)O5(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义.
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.解：（1）阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.6(2)根据图示,可以得到如下函数解析式 7这个函数的图象如图所示.t13452O8实 际 问 题 数 学 模 型 实际问题 的解 数学模型
的解 抽象概括 推理演算 还原说明 使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下： 【提升总结】9例2.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？10解：根据表可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为
480-40（x-1)=520-40x（桶）
由于x>0,且520-40x>0,即0 y=(520-40x)x-200
=-40x2+520x-200, 0易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.建模是关键11二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0)
(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
具体用哪种形式可根据具体情况而定. 【提升总结】12某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保证最快完成全部任务？【变式练习】13完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所用的时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应为0或越小越好.思路分析：14制作200把椅子所需时间为函数 解：设x名工人制作课桌， 名工人制作椅
子，由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一
把椅子用时之比为10：7，则一个工人制作7张桌
子和制作10把椅子所用时间相等，不妨设为1个时
间单位，
那么制作100张课桌所需时间为函数 则完成全部任务所需时间 15当 时，用时最少，即 取得最小值.由解得因为判断与所以最少时间为16所以最少时间为因为所以 时，用时最少.答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子最快完成任务. 因为171.一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图
所示，那么图象所对应的函数模型是 ( )
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.幂函数模型
D.对数函数模型
【解析】观察得图象是一条直线，所以是一次函数模型.OxyA182.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为
y=10(x-2)2+5，则当产量为3时，利润y等于( )
A.10 B.15
C.20 D.25
【解析】当x=3时，代入解析式y=10(x-2)2+5得y=15.B193.一民营企业生产某种产品，根据市场调查和预
测，其产品的利润(y)和投资(x)的算术平方根成
正比，其关系如图所示，则该产品的利润表示为
投资的函数解析式f(x)=_____________.3.759xyo【解析】由题设可知
根据图象知f(9)=3.75,
所以得
所以204.某工厂8年来某产品的总产量y与时间t(年)的函数关系如图所示，则
①前3年总产量增长速度越来越快；
②前3年总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量持续增长．
上述说法中正确的是___________. ①③21【解析】由图可知前3年的总产量增长速度是越来越快；而图象在t∈(3,8)上平行于t轴，说明总产量没有变化，所以第3年后该产品停止生产.因此只有①③正确.
【答案】①③225.邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克的超出部分按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．f（x）＝ 23解函数应用题的方法和步骤
1．审题:（1）设出未知量.
（2）找出量与量的关系.
2．建模:建立函数关系式.
3．求解:用数学方法解出未知量. 4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答. 24 信念是生活的太阳，面对它时，酸楚的泪滴也会折射出绚丽的色彩。课件31张PPT。1第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例2招 聘 启 事
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联系电话：86868866面试中…3 “天棚大酒店”自2012年1月1日营业以来，生意蒸蒸日上.第一个月的营业额就达到了100万元，第二个月比第一个月增长了百分之五.照此增长，第三个月的营业额为多少?第x个月的营业额是多少？
面试题目100（1+0.05）2100（1+0.05）x-1这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和对数函数模型！41.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问题.（重点）
2.能够收集数据信息，建立拟合函数解决实际问题.(难点）
3.进一步熟悉运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.（易混点）5指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点
内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问
题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等
增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以
表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，
p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方
程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问
题中可转化应用．61.指数函数模型
(1)表达形式：___________
(2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1.
2.对数函数模型
(1)表达形式：_____________.
(2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1.f(x)=abx+c.f(x)=mlogax+n7例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
思路分析：复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息，设本金为a，每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为y=a(1+r)x.类型一：指数型函数的应用8解：1期后本利和为： 2期后本利和为： …… x期后，本利和为： 将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式： 由计算器算得：y≈1 117.68（元） 9其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：类型二：对数型函数的应用10下表是1950～1959年我国的人口数据资料：（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.000 1），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符.（2）如果按表的增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿?11解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为由可得1951的人口增长率为同理可得，12根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.令则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为验证其准确性
13由图可以看出,所得模型
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.（2）将y=130 000代入由计算器可得14科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是y=cekx （c,k为常量）在海拔5(km)处的大气压强为0.568 3 (105Pa)，在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.536 6 (105Pa)，
（1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？
（精确到0.000 1)
（2）海拔为h千米处的大气压强为0.506 6(105Pa)，
求该处的海拔h.【变式练习】15解：(1)把x=5,y=0.568 3,x=5.5,y=0.536 6
代入函数关系式y=cekx ，得：把 x=6.712代入上述函数关系式，得≈0.466 8 (105Pa) 答：海拔6.712(km)处的大气压强约为0.466 8(105Pa).16(2)由1.01·e-0.115h=0.506 6答:该处的海拔约为6 km.解得h≈6(km)17【提升总结】
对数函数应用题的解题思路
有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义.18例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表607080901001101201301401501601706.137.909.9912.1515.0217.5026.8620.9231.1138.8547.2555.05⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．类型三：数据拟合函数的应用19⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？20分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）21(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数y=a?bx来近似反映.解：⑴将已知数据输入计算机，画出图象；如果取其中的两组数据（70，7.90）,（160，47.25）根据图象，选择函数进行拟合．代入函数由计算器得从而函数模型为22将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得
函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区
未成年男性体重与身高的关系．所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数
关系式可以选为23⑵将x=175代入得 由计算器计算得 y≈63.98， 所以，这个男生偏胖．由于24函数拟合与预测的步骤⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图.
⑵ 通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的．【提升总结】25因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．261.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的
个数y与x的函数关系式是( )
A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1
【解析】分裂一次后由2个变成2×2=22(个)，分裂两次后4×2=23(个)，……,分裂x次后y=2x+1(个).D27C 283.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发
现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 单位是
m/s，其中O表示燕子的耗氧量.
(1)当燕子静止时的耗氧量是 个单位.
(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度
是 个单位. 【解析】(1)由题意，当燕子静止时，它的速度v=0，
所以，0= ，解得：O=10个单位.
(2)由耗氧量是O=80得：101529（2）利用待定系数法，确定具体函数模型.1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法（3）对所确定的函数模型进行适当评价.（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系.（4）根据实际问题对模型进行适当修正.302.函数应用的基本过程（1）收集数据.
（2）作出散点图.
（3）通过观察图象判断问题所适用的函数模型.
（4）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式.
（5）用得到的函数模型解决相应的问题.31 勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。