高中数学北师大版（2019）必修 第一册第二章函数：函数的单调性 提升训练（含解析）

函数的单调性
基础过关练
题组一　函数单调性的概念及其应用
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),使得x1B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1C.若f(x)在区间A上为增函数,在区间B上也为增函数,则f(x)在A∪B上为增函数
D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)2.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,那么对任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中不正确的是 (　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.若x1D.>0
3.下列有关函数单调性的说法,不正确的是 (　　)
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数
4.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是 (　　)
A.y=-f(x)在R上是减函数
B.y=在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
5.已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是 (　　)
题组二　函数单调性的判定与证明
6.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是 (　　)
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上不具有单调性
7.(2021吉林洮南第一中学高一上期中)下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)的是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
8.函数y=的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,-3] B.
C.(-∞,1) D.[-1,+∞)
9.函数y=x(2-x)的递增区间是　　　　.
10.求函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间.
11.已知函数f(x)=ax+的图像经过点A(1,1),B(2,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
题组三　函数单调性的综合应用
12.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是 (　　)
A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
13.(2021河北石家庄正中实验中学高一上第一次月考)若函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
14.若函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.(-∞,4]
15.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是　　　　　　.
16.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020河北石家庄二中高一上月考)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　)
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
2.(2021陕西咸阳高新一中高一上第三次月考)函数f(x)在区间(-4,7)上是增函数,则使得y=f(x-3)为增函数的区间为 (　　)
A.(-2,3) B.(-1,7)
C.(-1,10) D.(-10,-4)
3.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为 (　　)
A.[3,+∞)
B.(-∞,2),(4,+∞)
C.(2,3),(4,+∞)
D.(-∞,2],[3,4]
4.(2021河南洛阳一中高一上第一次月考)函数f(x)=的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,1] B.[3,+∞)
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
5.(2021江苏南通高一上期中联考)设a∈R,已知函数y=f(x)是定义在[-4,4]上的减函数,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是 (　　)
A.[-4,1) B.(1,4]
C.(1,2] D.[-5,2]
6.若函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x12x的解集为 (　　)
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
二、填空题
8.若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是　　　　.
9.函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t的取值范围是　　　　.
三、解答题
10.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
11.已知函数f(x)=(a≠1).
(1)若a>0,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
12.若f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足f=f(x)-f(y),当x>1时,f(x)>0.
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
参考答案：
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B
6.C 7.B 8.B 12.D 13.A
14.D
1.D　在A中,x1,x2不是任意的,不能推出f(x)在(a,b)上为增函数,A错误;在B中,无穷多对不能代表“任意”,B错误;在C中,例如f(x)=-在区间(-∞,0)上为增函数,在区间(0,+∞)上也为增函数,但f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数,C错误;在D中,若f(x)在区间I上为增函数,则当x1,x2∈I时,x12.C　因为f(x)在[a,b]上是增函数,所以当x1,x2∈[a,b](x1≠x2)时,x13.C　若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.故不能确定f(x)+g(x)的单调性.
4.A　设任意的x1,x2∈R,且x1-f(x2),A选项一定成立.其余三项不一定成立,如当f(x)=x时,B,C不成立,当a≤0时,D不成立.故选A.
5.B　对于A,函数在(-∞,1)及[1,+∞)上分别单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不对;对于C,函数在(-∞,1)及(1,+∞)上分别单调递增,但存在x1>1,使f(x1)6.C　由题中函数图像可知,f(x)在[-5,-3]和[1,4]两个区间上单调递增,则A、B选项中说法是正确的;又由题图可知,函数在[-3,1]和[4,5]两个区间上分别单调递减,但在区间[-3,1]∪[4,5]上不具有单调性,所以C选项中说法错误;函数在[-5,5]上不具有单调性,则D选项中说法正确.故选C.
7.B　因为对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),所以函数f(x)是减函数.
f(x)=x2,f(x)=|x|,f(x)=2x+1在(0,+∞)上是增函数,f(x)=在(0,+∞)上是减函数.
故选B.
8.B　函数由t=2x-3与y=复合而成,故利用复合函数单调性的规律来求.首先由2x-3≥0,得x≥.又因为t=2x-3在(-∞,+∞)上单调递增,y=在定义域上是增函数,所以y=的单调递增区间是.故选B.
9.答案　(-∞,1]
解析　y=x(2-x)=-x2+2x,其图像开口向下,图像的对称轴是直线x=1,故其递增区间是(-∞,1].
10.解析　∵y=-x2+2|x|+3=
作出函数图像如图所示:
由图像,知函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1].
11.解析　(1)∵f(x)的图像过点A(1,1),B(2,-1),∴解得
∴f(x)=-x+.
(2)函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=(x2-x1)+=(x2-x1)+=.
由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2>0,x1x2+2>0,
由x10,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)=-x+在(0,+∞)上是减函数.
12.D　由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数得,f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.
13.A　由题意可得f(x)=a2+,因为函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递减,
所以故a>1,故选A.
14.D　依题意得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=,且图像开口向上,由函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上单调递增,得≤1,即a≤4,故选D.
15.答案　(0,1]
解析　f(x)=-x2+2ax的图像开口向下,其图像的对称轴为直线x=a,由f(x)在[1,2]上是减函数,可得a≤1;由g(x)=在[1,2]上是减函数,可得a>0,∴016.解析　当x≥0时,f(x)=x2+4x,其图像的对称轴为直线x=-2,且图像开口向上,因此f(x)在[0,+∞)上是增函数,f(0)=0;当x<0时,f(x)=4x-x2,其图像的对称轴为直线x=2,且图像开口向下,因此f(x)在(-∞,0)上是增函数.画出f(x)的图像如图所示(实线部分).
由图像可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a) 4-a>a,解得a<2.
能力提升练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.C
6.A 7.A
一、选择题
1.C　观察函数,f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数,∴A不符合题意;
f(x)=x2-3x的图像是开口向上,对称轴为直线x=的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增,∴B不符合题意;
f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,∴C符合题意;
f(x)=-|x|在(0,+∞)上单调递减,∴D不符合题意.故选C.
2.C　函数y=f(x-3)的图像可以看成将函数f(x)的图像向右平移3个单位长度,故由函数f(x)在区间(-4,7)上是增函数,得y=f(x-3)在区间(-1,10)上是增函数.故选C.
3.C　作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图像如图所示:
由图像得,f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+∞),故选C.
4.B　由题意,可得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞),函数y=x2-2x-3的图像的对称轴为直线x=1,且在(-∞,-1]∪[3,+∞)上的单调递增区间为[3,+∞),根据复合函数的单调性,可知函数f(x)=的单调递增区间是[3,+∞).故选B.
5.C　函数y=f(x)是定义在[-4,4]上的减函数,且f(a+1)>f(2a),
所以解得16.A　要使f(x)在R上是减函数,
需满足
解得≤a<,故选A.
7.A　由f(x1)-f(x2)2x得,f(2x-1)-(2x-1)+1>2,又F(3)=f(3)-3+1=2,所以F(2x-1)>F(3),所以2x-1>3,解得x>2,故选A.
二、填空题
8.答案　c≤-2
解析　由函数y=|2x+c|
=得函数y=|2x+c|在上单调递减,在上单调递增.因为函数在区间(-∞,1]上单调,所以-≥1,解得c≤-2.
9.答案　t≥1
解析　函数f(x)=(t>0)的图像如图所示:
由题意知,函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则由图可得t≥1.
三、解答题
10.解析　(1)证明:当a=-2时,f(x)=(x≠-2).设任意x1,x2∈(-∞,-2),且x1∵x1,x2∈(-∞,-2),且x1∴(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)设任意x1,x2∈(1,+∞),且x1∵a>0,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
∴a≤1.
综上所述,011.解析　(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,所以函数f(x)的定义域是.
(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在区间(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在区间(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时a<0.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
12.解析　(1)函数f(x)是增函数.
证明如下:令x=x1,y=x2,且x1>x2>0,则>1,
由题意,知f=f(x1)-f(x2),
又∵当x>1时,f(x)>0,∴f>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴函数f(x)在定义域内是增函数.
(2)令x=4,y=2,由题意,知f=f(4)-f(2),∴f(4)=2f(2)=1×2=2,
f(x+3)-f=f[x(x+3)]又∵f(x)是增函数,∴
解得0方法总结
解抽象函数时,重要的一点是要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图像的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图像和性质来解决抽象函数问题.