高中数学北师大版（2019）必修 第一册第二章 函数：函数的表示法 映射提升训练（含解析）

函数的表示法 映射
基础过关练
题组一　函数的表示法
1.(2020河北衡水冀州中学高一上第二次月考)已知函数f(x),g(x)由下列表格给出,则f[g(3)]= (　　)
x 1 2 3 4
f(x) 2 4 3 1
g(x) 3 1 2 4
A.4 B.3 C.2 D.1
2.(2021山东烟台高一上期中)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东赛区)的比赛活动.早上他乘出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图像中与上述事件吻合最好的是 (　　)
3.如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O、A、B的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1),则 f[f(3)]的值等于　　　　.
4.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式,并指明这个函数的定义域.
题组二　函数解析式的求法
5.(2021北京理工大学附中高一上期中)已知函数f(x)是一次函数,且f(x-1)=4x+3,则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7
C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3
6.已知f(2x+1)=4x2,则f(-3)= (　　)
A.36 B.16 C.4 D.-16
7.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=2x+3 B.f(x)=3x+2
C.f(x)=3x-2 D.f(x)=2x-3
8.已知f(x-1)=x2,则f(x2)=　　　　　.
9.已知f=x2+,则f(3)=　　　　.
10.已知函数f(x)满足af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式.
题组三　分段函数问题的解法
11.(2021四川成都实验外国语学校高一上第二次段考)已知f(x)=则f[f(-1)]的值为 (　　)
A.5 B.15 C.25 D.45
12.已知函数f(x)=则下列函数图像正确的是 (　　)
13.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为　　　　.
14.“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严重影响人民生活的程度.缺水每年给我国工业造成的损失达2000亿元,给我国农业造成的损失达1500亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定当每季度每人用水量不超过5立方米时,每立方米水费1.2元;当超过5立方米而不超过6立方米时,超过部分的水费加收200%;当超过6立方米而不超过7立方米时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)立方米,那么本季度他应交的水费y(单位:元)与用水量x(单位:立方米)的函数关系式为　　　　　　　.
15.已知函数f(x)=1+.
(1)用分段函数的形式表示函数f(x);
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像;
(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g(x)=(x>0)的图像(不用列表),观察图像直接写出当x>0时,不等式f(x)>的解集.
16.(2021吉林榆树一中高一上期中)已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(-),ff-的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值.
题组四　映射
17.下列各个对应中,构成映射的是 (　　)
18.已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B为集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况的种数为 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.27
19.(2021江西南昌六校高一上期中联考)已知映射f:(x,y)→(x+2y,x-2y),在映射f下(1,-1)的原像是 (　　)
A.0, B.(1,1)
C.(-1,3) D.,1
能力提升练
一、选择题
1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是 (　　)
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
D.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
2.如图所示的图像表示的函数解析式为 (　　)
A.y=|x-1|(0≤x≤2)
B.y=-|x-1|(0≤x≤2)
C.y=-|x-1|(0≤x≤2)
D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)
3.(2021江西景德镇一中高一上期中)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= (　　)
A.x-1 B.x+1
C.2x+1 D.3x+3
4.(2021辽宁抚顺一中高一上期中)已知函数f(x)=的定义域与值域相同,则常数a= (　　)
A.3 B.-3
C. D.-
5.定义运算:a*b=则f(x)=x2*|x|的图像是　 (　　)
二、填空题
6.(2021重庆西南大学附中高一上第二次月考)已知函数g(+1)=2x+3,则g(3)=　　　　.
7.已知函数f(2x-1)=4x+3,若f(t)=11,则t=　　　　.
8.设函数f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
9.(2021河南南阳一中高一上第一次月考)根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)f[f(x)]=4x-3,其中f(x)为一次函数;
(2)2f+f(x)=x(x≠0).
10.已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.
参考答案：
基础过关练
1.A 2.C 5.B 6.B 7.C
11.D 12.A 17.D 18.B 19.A
1.A　由题意,根据题表的对应关系,可得g(3)=2,所以f[g(3)]=f(2)=4,故选A.
2.答案　C
信息提取　①y表示离开家的距离,x表示离开家的时间;②该学生先乘出租车,中途返回家,再乘出租车以更快的速度前行;③确定与上述事件吻合的图像.
数学建模　本题为实际问题中的函数图像识别题,通过构建函数模型,分析两个变量间的变化情况,得出正确的函数图像.由题意可知,该高三学生行动的三个过程均为离开家的距离关于时间的一次函数,结合图像可得答案.
解析　由题意,知该高三学生离开家,y是x的一次函数,且y值均匀增加;
返回家的过程中,y仍然是x的一次函数,且y值均匀减少;
最后由家乘出租车以更快的速度赶往高铁站,y仍然是x的一次函数,且y值增加的速度比刚开始快,
所以与事件吻合最好的图像为C,故选C.
3.答案　2
解析　由题中图像知f(3)=1,∴f[f(3)]=f(1)=2.
4.解析　由题意可知该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为x,
∴此盒子的体积V=x(a-2x)2,
其中自变量x应满足即0∴此盒子的体积V以x为自变量的函数解析式为V=x(a-2x)2,定义域为.
5.B　因为f(x-1)=4x+3=4(x-1)+7,所以f(x)=4x+7.故选B.
6.B　当2x+1=-3时,x=-2,因此f(-3)=4×(-2)2=16.故选B.
7.C　设f(x)=kx+b(k≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
得
解得所以f(x)=3x-2.故选C.
8.答案　(x2+1)2
解析　令t=x-1得x=t+1,由f(x-1)=x2得f(t)=(t+1)2,即f(x)=(x+1)2,于是f(x2)=(x2+1)2.
9.答案　11
解析　令t=x-,则x2+=+2=t2+2,因此f(t)=t2+2,从而f(3)=32+2=11.
10.解析　在原式中以-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx,
于是有
消去f(-x),得f(x)=.
故f(x)的解析式为f(x)=x.
11.D　f(-1)=-(-1-4)=5>0,
所以f[f(-1)]=f(5)=5×(5+4)=45,故选D.
12.A　当x=-1时,f(x)=0,即图像过点(-1,0),故D错误;当x=0时,f(x)=1,即图像过点(0,1),故C错误;当x=1时,f(x)=2,即图像过点(1,2),故B错误.故选A.
13.答案　[0,1]
解析　由已知得函数f(x)的定义域为R,大致图像如图所示,
由图像知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1];当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
14.答案　y=
解析　由题意可知:
①当x∈[0,5]时,y=1.2x;
②当x∈(5,6]时,y=1.2×5+(x-5)×1.2×(1+200%)=3.6x-12;
③当x∈(6,7]时,y=1.2×5+1×1.2×(1+200%)+(x-6)×1.2×(1+400%)
=6x-26.4.
∴y=
15.解析　(1)当x≥0时,f(x)=1+=1;当x<0时,f(x)=1+=x+1.
所以f(x)=
(2)函数f(x)的图像如图所示.
(3)函数g(x)=(x>0)的图像如图所示,当f(x)>时,f(x)的图像在g(x)的图像的上方,所以由图像可知f(x)>的解集是{x|x>1}.
16.解析　(1)因为f(x)=
所以f(-5)=-5+1=-4,f(-)=(-)2+2×(-)=3-2,
f-=-+1=-,
f=f-=+2×-=-3=-.
(2)当a≤-2时,f(a)=a+1=3,解得a=2,不符合题意,舍去;
当-2即(a-1)(a+3)=0,
解得a=1或a=-3(舍去),此时a=1;
当a≥2时,f(a)=2a-1=3,即a=2.
综上所述,a=1或a=2.
思想方法
对于分段函数的求值或求参问题,常常需要针对自变量的取值分类进行求解,即分段函数分段求,这体现了分类讨论思想.
17.D　选项A中,元素2没有像,不构成映射;选项B中,元素2没有像,不构成映射;选项C中,元素1有两个像,不构成映射;选项D中,满足映射的定义,构成映射.
18.B　由函数的定义知,此函数可以分为三类来进行研究:若函数是三对一的对应,则值域有{4},{5},{6}三种情况;若函数是二对一的对应,则值域有{4,5},{5,6},{4,6}三种情况;若函数是一对一的对应,则值域有{4,5,6}一种情况.综上可知,函数的值域的不同情况有7种.
19.A　由解得所以在映射f下(1,-1)的原像是0,.故选A.
能力提升练
1.C 2.B 3.B 4.A 5.B
一、选择题
1.C　对于A选项,由题图可知,当乙车速度大于40千米/时时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5千米,故A错误;
对于B选项,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,故B错误;
对于C选项,当行驶速度不超过80千米/时时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,故C正确;
对于D选项,甲车以80千米/时的速度行驶时,燃油效率为10千米/升,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),故D错误.
故选C.
2.B　当0≤x≤1时,y=x,当13.B　∵f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1①,∴2f(-x)-f(x)=-3x+1②,
由①②得,f(x)=x+1.故选B.
4.A　显然f(x)=的定义域为R,故值域为R,y==3-的值域为{y∈R|y≠3},∴a=3,故选A.
5.B　依题意得f(x)=
在同一平面直角坐标系中作出y=x2与y=|x|的图像,如图所示.
由图像知,当x≤-1时,x2≥|x|,f(x)=x2;
当-1当x=0时,x2=|x|,f(x)=0;
当x≥1时,x2≥|x|,f(x)=x2.
因此,当x≤-1或x≥1时,图像为抛物线的一部分,当-1二、填空题
6.答案　11
解析　令+1=t≥1,则x=(t-1)2,所以g(t)=2(t-1)2+3=2t2-4t+5(t≥1),所以g(x)=2x2-4x+5(x≥1),所以g(3)=2×32-4×3+5=11.
7.答案　3
解析　设2x-1=t,则x=,∴f(t)=2(t+1)+3=2t+5.∵f(t)=11,∴2t+5=11,
解得t=3.
8.答案　(-∞,-1)
解析　当a≥0时,由f(a)>a,得f(a)=a-1>a,解得a<-3,与a≥0矛盾,舍去;当a<0时,由f(a)>a,得f(a)=>a,由a<0去分母、移项,得a2-1>0,即(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1,又因为a<0,所以a<-1.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1).
三、解答题
9.解析　(1)由题意,设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-3,
由恒等式性质,得
解得或
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3.
(2)f(x)+2f=x,
将上式中的x与互换,得f+2f(x)=,
于是得关于f(x)的方程组
∴f(x)=-(x≠0).
10.解析　当A中的三个元素都对应0时,f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有1个映射;
当A中的三个元素对应B中的两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1;当A中的三个元素对应B中的三个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有2个,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.
因此满足题设条件的映射有7个.