高中数学北师大版（2019）必修 第一册第二章 函数：函数的奇偶性提升训练（含解析）

函数的奇偶性
基础过关练
题组一　奇函数、偶函数的图像特征
1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)的图像上的是 (　　)
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))
2.下列图像表示的函数中具有奇偶性的是 (　　)
3.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图像一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=　　　.
4.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图像,试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值;
(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图像,试作出y轴右侧的图像并比较f(1)与f(3)的大小.
题组二　函数奇偶性的判定
5.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x) (　　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
6.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 (　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
7.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx (　　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
8.(2021山西怀仁高一上期中)下列判断正确的是 (　　)
A.函数f(x)=是奇函数
B.函数f(x)=(1-x)是偶函数
C.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数
D.函数f(x)=是奇函数
9.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
题组三　利用函数的奇偶性求值
10.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,则f(0)+f(-1)= (　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
11.(2021湖北孝感一中高一上期中)已知f(x)=是R上的奇函数,则a= (　　)
A.4 B.0 C.-4 D.2
12.若f(x)=x2+ax+b在上为偶函数,则a=　　　　,b=　　　　.
13.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(0)+f(1)=　　　　.
14.(2021福建宁德高中同心顺联盟校高一上联考)如图是定义域在R上的奇函数f(x)的部分图像.
(1)补全f(x)的图像,并求f[f(2)]的值;
(2)求f(x)的解析式.
题组四　函数奇偶性与单调性的综合应用
15.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)16.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　.
17.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+3x.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像,并写出函数f(x)的单调区间.
18.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;
(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.
能力提升练
一、选择题
1.(2021黑龙江八校高一上联考)下列函数中既是奇函数,又是增函数的为 (　　)
A.f(x)=|x| B.f(x)=x|x|
C.f(x)=- D.f(x)=-x3
2.设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3,若f(x+a)为偶函数,则a等于 (　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.(2021四川乐山外国语学校高一上期中)已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,如果不等式f(1-m)A.[-1,0) B.(0,1]
C.(-∞,0) D.[-1,1]
4.已知f(x)是R上的奇函数,且y=f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0时,f(x)=2x2,则f= (　　)
A. B.-
C.1 D.-1
5.已知函数y=f(x)+x3为偶函数,且f(10)=10,若函数g(x)=f(x)+4,则g(-10)= (　　)
A.2014 B.-2014
C.2018 D.-2018
6.(2021湖北孝感一中高一上期中)已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[2a,1-a]上的偶函数,则函数y=f(xa+b)的值域是 (　　)
A. B.
C.[-4,0) D.[-2,0)
7.(2020四川绵阳高一上期末检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 (　　)
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
二、填空题
8.(2019湖北武昌实验中学高一上月考,)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式为　　　　　　.
9.已知函数f(x)=ax3+bx+1,若f(a)=8,则f(-a)=　　　　.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2a-1)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　　.
11.若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为　　　　.
12.已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=4x-x2.若f(x)在区间[-4,t]上的值域为[-4,4],则实数t的取值范围是　　　　　　.
三、解答题
13.已知y=f(x)是定义域为{x|x≠0}的奇函数,当x>0时,f(x)=1+.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像,并写出函数f(x)的单调区间及值域;
(3)求不等式f(2x+1)+2≥0的解集.
14.定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.
(1)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)试判断f(x)的单调性,并加以证明;
(3)若 t∈R,不等式f(t-t2)-f(k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案：
基础过关练
1.B 2.B 5.B 6.C 7.A
8.D 10.D 11.A 15.A
1.B　∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),
∴点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)的图像上.
2.B　偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称,故只有B符合题意.
3.答案　(答案不唯一)
解析　举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=,答案不唯一.
4.解析　(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图像,如图①所示,易知f(3)=-2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图像,如图②所示,易知f(1)>f(3).
5.B　∵x∈(-a,a)关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
6.C　A中,令h(x)=f(x)·g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),∴h(x)是奇函数,故错误;
B中,令h(x)=|f(x)|g(x),
则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x),
∴h(x)是偶函数,故错误;
C中,令h(x)=f(x)|g(x)|,
则h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),
∴h(x)是奇函数,故正确;
D中,令h(x)=|f(x)g(x)|,
则h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h(x),
∴h(x)是偶函数,故错误.
7.A　∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),即a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c,得b=0,
∴g(x)=ax3+cx,
∴g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),
∴g(x)是奇函数.故选A.
8.D　函数f(x)=的定义域为|x|x≠2|,不关于原点对称,
所以f(x)为非奇非偶函数,故A错误;
由≥0可得函数f(x)=(1-x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数,故B错误;函数f(x)=1不是奇函数,故C错误;由可得-1≤x≤1且x≠0,所以函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称.
因为-1≤x≤1,所以f(x)==,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)=是奇函数,故D正确.故选D.
9.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x2-1=0.
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).综上可知,函数f(x)为奇函数.
10.D　因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,又当x>0时,f(x)=2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(2×1-1)=-1,所以f(0)+f(-1)=0+(-1)=-1,故选D.
11.A　当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(-x+4)=x2-4x.因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以ax-x2=-x2+4x,其中x<0,所以a=4.故选A.
12.答案　0;1
解析　∵f(x)在区间上为偶函数,∴其定义域关于原点对称,
故-+1-=0,即b=1.
又∵f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),∴a=0.
13.答案　-2
解析　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,所以f(0)+f(1)=-2.
14.解析　(1)补全函数f(x)图像如图所示.
由图知,f(2)=-2,f(-2)=2,
因此,f[f(2)]=f(-2)=2.
(2)由图可设f(x)=ax(x-4)(x≥0).
则f(0)=0,f(2)=-2,所以-4a=-2,
解得a=,所以f(x)=x(x-4)(x>0);
当x<0时,则-x>0,f(x)=-f(-x)=-=-x(x+4).
综上所述,函数f(x)的解析式为f(x)=
解题模板
利用函数的奇偶性求函数解析式的基本步骤:
(1)设x属于所求的区间,可得出-x属于已知区间;
(2)求出f(-x)的表达式;
(3)利用函数奇偶性的定义可得f(x)=f(-x)(偶函数)或f(x)=-f(-x)(奇函数);
(4)综合可得函数f(x)的解析式.
15.A　∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
又∵当x≥0时,f(x)是增函数,
∴f(2)从而f(-2)即f(π)>f(-3)>f(-2).
16.答案　(-∞,0]
解析　∵f(x)是偶函数,
∴k-1=0,即k=1,
∴f(x)=-x2+3,
即f(x)的图像是开口向下的抛物线,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0].
17.解析　(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以对任意的x∈R都有f(-x)=-f(x)成立.
当x>0,即-x<0时,f(x)=-f(-x)=
-[(-x)2+3(-x)]=-x2+3x,
所以f(x)=
(2)画出f(x)的图像,如图所示:
由图像知,函数f(x)的单调递增区间为,函数f(x)的单调递减区间为,.
18.解析　(1)根据题意,f(x)为奇函数且在R上是增函数,
则f(2x-1)+f(3)<0 f(2x-1)<-f(3) f(2x-1)解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).
(2)根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,
则f(2x-1)-f(-3)<0 f(2x-1)解得-1能力提升练
1.B 2.B 3.A 4.A 5.A
6.C 7.D
一、选择题
1.B　对于A,f(x)=|x|为偶函数,故A不正确;对于B,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)=在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递增,
f(0)=0,则f(x)在定义域内为增函数,故B正确;对于C,f(x)=-是奇函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递增,但在定义域内不具有单调性,所以f(x)在定义域内不是增函数,故C错误;对于D,f(x)=-x3在定义域上为减函数,故D不正确.故选B.
2.B　∵f(x+a)为偶函数,∴f(x+a)=f(-x+a),∵f(x+a)=(x+a)2-4(x+a)+3=x2+(2a-4)x+a2-4a+3,
f(-x+a)=(-x+a)2-4(-x+a)+3=x2-(2a-4)x+a2-4a+3,
∴f(x+a)-f(-x+a)=x2+(2a-4)x+a2-4a+3-[x2-(2a-4)x+a2-4a+3]=0,∴a=2.故选B.
3.A　因为函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,所以f(1-m)因为当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,所以0≤|1+m|<|1-m|≤2,解得-1≤m<0.故选A.
4.A　由f(x)是R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),①
由y=f(x+1)为偶函数,得f(-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2),②
由①②得f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f=f=f=2×=,故选A.
5.A　设F(x)=f(x)+x3,则f(x)=F(x)-x3,
∴g(x)=F(x)-x3+4.
由f(10)=10得,F(10)=f(10)+103=1010,又F(x)是偶函数,∴F(-10)=1010,因此,g(-10)=F(-10)-(-10)3+4=1010+1000+4=2014,故选A.
6.C　因为f(x)是定义在[2a,1-a]上的偶函数,所以其定义域关于原点对称,则有(1-a)+2a=a+1=0,则a=-1,同时f(-x)=f(x),即ax2+bx=a(-x)2+b(-x),则有bx=0,必有b=0,则f(x)=-x2,其定义域为[-2,2],因为y=f(xa+b)=f(x-1)=-(x-1)2=-x-2,f(x)的定义域为[-2,2],
所以x-1∈[-2,0)∪(0,2],所以-x-2∈[-4,0).故函数y=f(xa+b)的值域是[-4,0).故选C.
7.D　由题意得,函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-2)=-f(2)=0.画出f(x)的大致图像,如图所示:
由图可知,不等式xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2).故选D.
二、填空题
8.答案　f(x)=
解析　任取x<0,则-x>0,依题意得,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴-f(x)=f(-x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x.
当x=0时,由f(-0)=-f(0)得f(0)=0.
综上所述,f(x)=
9.答案　-6
解析　设F(x)=f(x)-1=ax3+bx,则F(x)是R上的奇函数,所以F(a)=f(a)-1=7,
因此F(-a)=-7,从而f(-a)=F(-a)+1=-7+1=-6.
10.答案　(1,+∞)
解析　因为当x≥0时,f(x)=x2+2x,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,已知f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)是R上的增函数.又f(2a-1)>f(a),所以2a-1>a,解得a>1.
11.答案　2
解析　由题知f(x)==t+.
设F(x)=f(x)-t=,则F(x)是奇函数,
由f(x)的最大值为M,最小值为N得,
F(x)的最大值为M-t,最小值为N-t,
又F(x)是奇函数,
∴(M-t)+(N-t)=0,即M+N=2t,
又M+N=4,∴t=2.
12.答案　[2,2+2]
解析　任取x<0,则-x>0,因此f(-x)=-4x-x2,由函数f(x)是R上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=4x+x2,f(0)=0,
则函数f(x)=其图像如图所示.
由图像知t≥2,由4x-x2=-4,得x=2+2或x=2-2(舍去),故实数t的取值范围是[2,2+2].
三、解答题
13.解析　(1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=1-,又已知f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-=-1+.
故f(x)=
(2)作函数f(x)的图像如图所示:
由图可知,函数f(x)的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),其值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(3)令t=2x+1,由f(x)的图像知,f(t)+2≥0 f(t)≥-2 t≤-1或t>0,
即2x+1≤-1或2x+1>0,
解得x≤-1或x>-,
∴f(2x+1)+2≥0的解集为(-∞,-1]∪.
14.解析　(1)f(x)是奇函数,证明如下:
令x=y=0,∴f(0)=0,令y=-x,
∴f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)f(x)在R上单调递增,证明如下:
令x10,
∴f(x2-x1)>0,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在R上单调递增.
(3)∵f(t-t2)∴t-t2令g(t)=t-t2,
则g(t)=t-t2=-t2-t++=-t-2≤,
∴k∈,+∞.