高中数学北师大版（2019）必修 第一册第二章 函数：二次函数的图像二次函数的性质提升训练（含解析）

二次函数的图像 性质
基础过关练
题组一　二次函数及其图像
1.函数y=x2-5x+1图像的对称轴方程和顶点坐标分别是 (　　)
A.x=5, B.x=-5,C.x=5, D.x=-5,
2.已知关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0),如果a>b>c,且a+b+c=0,那么它的图像是 (　　)
3.(2021广东珠海二中高一上期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④若y>0,则x∈(-3,1).其中正确的是 (　　)
A.①④ B.②④ C.①③ D.①②③
4.函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数解析式是　　　　　　.
5.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)确定此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出图像;
(2)x为何值时,分别有y>0,y=0,y<0
题组二　二次函数的性质及其应用
6.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴为直线x=2,则 (　　)
A.f(4)C.f(2)7.(2021四川省实验外国语学校高一上期中)已知函数f(x)=x2+ax+a2图像的对称轴为直线x=1,则函数f(x)的单调递减区间为 (　　)
A.-∞, B.(-∞,1) C.(-∞,2) D.(-∞,4)
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm= (　　)
A.0 B.m C.2m D.4m
9.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
10.已知函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,则f(-1)的取值范围是　　　　.
11.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　.
12.(2021河南新乡高一上期中联考)某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售单价(单位:元)为p(x)=销售量(单位:件)为q(x)=n-x(1≤x≤30,x∈N+),且第20天的销售额为1800元(销售额=销售单价×销售量).
(1)求n的值,并求出第5天的销售额;
(2)求这30天内单日销售额的最大值.
13.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020广东深圳罗湖高一上期末)函数y=的最大值是 (　　)
A.4 B.2 C.4 D.16
2.(2021安徽名校高一上期中联考)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a=(　　)
A. B.-或5 C.或-5 D.-
3.(2020四川成都石室中学高一上第一次月考)若函数f(x)=x2-3x+4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(0,4] D.
4.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是 (　　)
A.[160,+∞)
B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.(-∞,20]∪[80,+∞)
5.(2021福建南安侨光中学高一上第二次段测)函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围为 (　　)
A.0
6.若函数f(x)=的值域为(0,+∞),则实数m的取值范围是　(　　)
A.(1,4) B.(-∞,1)∪(4,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.[0,1]∪[4,+∞)
二、填空题
7.把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到函数y=x2的图像,则b=　　　　,c=　　　　.
8.已知f(x)=x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a+b=　　　　.
9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,且f(1-x)=f(1)+f(x),若f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围为　　　　.
三、解答题
10.已知函数f(x)=(x-2)(x+a)(a∈R),f(x)的图像关于直线x=1对称.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在区间[0,3]上的最小值.
11.已知函数g(x)=x2-4x+2,x∈[t,t+2].
(1)当t=1时,求g(x)的值域;
(2)设g(x)的最小值为h(t),请写出h(t)的表达式,并求h(t)=2的解.
12.(2020浙江宁波九校联考)定义在R上的函数f(x)=ax2+x.
(1)当a>0时,求证:对任意的x1,x2∈R都有[f(x1)+f(x2)]≥f成立;
(2)当x∈(0,2]时,|f(x)|≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=,点P(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函数y=f(x)图像上的点,求m,n.
　　　　　　　　　　　
参考答案：
基础过关练
1.A 2.D 3.A 6.B 7.B
8.B 9.C
1.A　∵y=x2-5x+1=(x-5)2-,
∴对称轴方程为x=5,顶点坐标为,故选A.
2.D　解法一:∵a+b+c=0且a>b>c,∴a>0,c<0,故选D.
解法二:由已知得a>0,Δ=b2-4ac=[-(a+c)]2-4ac=(a-c)2>0,图像与x轴有两个交点.故选D.
3.A　由题中函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,可得函数的图像开口向下,与x轴有两个交点,
所以a<0,Δ=b2-4ac>0,所以b2>4ac,故①正确;由对称轴方程为x=-=-1,可得2a=b,所以2a-b=0,故②不正确;由f(-1)>0,可得a-b+c>0,故③不正确;由题图可得f(-3)=0,根据函数的对称性,可得f(1)=0,若y>0,则-3方法总结
识别二次函数的图像应学会“三看”:
一看符号:看二次项系数的符号,它确定二次函数图像的开口方向;
二看对称轴:看对称轴和最值,它确定二次函数图像的具体位置;
三看特殊点:看函数图像上的一些特殊点,如函数图像与y轴的交点、与x轴的交点、函数图像的最高点或最低点等.
4.答案　y=3x2+5x+2
解析　函数y=3x2-x+2的图像向左平移1个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像,再向下平移2个单位长度,得函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像,即所得图像对应的函数解析式是y=3x2+5x+2.
5.解析　(1)y=2x2-4x-6,配方,得y=2(x-1)2-8.
∵2>0,∴函数的图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表如下:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -6 -8 -6 0 …
描点并连线,得函数y=2x2-4x-6的图像如图所示:
(2)由图可得,当x<-1或x>3时,y>0;当x=-1或x=3时,y=0;当-16.B　f(x)的图像的对称轴为直线x=2,所以f(2)最小,又直线x=4比直线x=1到对称轴的距离远,所以f(4)>f(1),所以f(2)7.B　由题意得,f(x)为二次函数且其图像开口向上,对称轴为直线x=1,所以对称轴左侧为单调递减区间,故函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1).故选B.
8.B　由f(x)=f(2-x)可知f(x)的图像关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线x=1对称,故两个图像的交点也关于直线x=1对称,∴x1+x2+…+xm=m,故选B.
9.C　令f(x)=-x2+2x,
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0,
∴a<0
10.答案　(-∞,8]
解析　∵函数f(x)=x2-2ax+5在区间[1,+∞)上为增函数,且函数f(x)的图像的对称轴为直线x=a,
∴a≤1,
∴f(-1)=1+2a+5=6+2a≤8.
11.答案　(-∞,-1)
解析　f(x)的定义域为R,则x2+2x-a>0在R上恒成立.
解法一:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得Δ=22-4×1×(-a)<0,解得a<-1.
解法二:令g(x)=x2+2x-a,则g(x)=(x+1)2-1-a>0在R上恒成立,只需g(x)min=-1-a>0,解得a<-1.
解法三:由x2+2x-a>0在R上恒成立,得x2+2x>a恒成立,令F(x)=x2+2x,则F(x)min=F(-1)=-1>a,即a<-1.
12.信息提取　①p(x)=
②第20天的销售额为1800元.
数学建模　本题以儿童玩具促销为背景,构建二次函数模型,借助二次函数的单调性求最值,从而解决实际问题中的销售额的最大值问题.对于(1),可先求出单日销售额y与x的函数关系式,再根据第20天的销售额为1800元求出n的值,最后代入x=5,即可得出结果;对于(2),先分别求出1≤x≤10,10解析　(1)设单日销售额为y元,
则y=p(x)·q(x)=
整理,得y=
当x=20时,y=400-20(n+80)+80n=1800,解得n=50,
故y=
当x=5时,y=2700,
即第5天的销售额为2700元.
(2)当1≤x≤10,x∈N+时,y=-2x2+50x+2500单调递增,
则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2500=2800;
当10则单日销售额的最大值为112-130×11+4000=2691.
综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2800元.
13.解析　(1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈,
∴f(x)的最小值是f(1)=1,
又f=,f(3)=5,
∴f(x)的最大值是f(3)=5.
故f(x)在区间上的最大值是5,最小值是1.
(2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,
∴≤2或≥4,即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
能力提升练
1.A 2.C 3.A 4.C 5.B
6.D
一、选择题
1.A　∵y===,
∴当x=4时,y=取得最大值,最大值为4.
故选A.
2.C　显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1,当a>0时,f(x)在区间[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1,由15a+1=6,解得a=,符合题意;当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a,由1-a=6,解得a=-5,所以a的值为或-5.故选C.
3.A　∵f(x)=x2-3x+4=+,
∴f=,又f(0)=f(3)=4,
∴f(x)的图像如图所示:
由已知及二次函数图像可知,m的最小值为,最大值为3,即m的取值范围是,故选A.
4.C　由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f(x)=4x2-kx-8图像的对称轴为直线x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.
5.B　根据题意,对x1,x2∈(-∞,4),且x1≠x2恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数在(-∞,4)上单调递减.当a=0时,f(x)=-2x+2符合题意;当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,其图像的对称轴为直线x=.若f(x)在(-∞,4)上为减函数,则必有解得0综上,0≤a≤.故选B.
6.D　令g(x)=mx2+2(m-2)x+1.由于函数f(x)=的值域为(0,+∞),故g(x)的值域包含(0,+∞).
①当m=0时,g(x)=-4x+1,值域为R (0,+∞);
②当m≠0时,要使f(x)能取遍(0,+∞)内的每一个值,则需g(x)的最小值小于或等于0,
由此可得
解得0综上可得,实数m的取值范围是[0,1]∪[4,+∞),故选D.
二、填空题
7.答案　-8;14
解析　将函数y=x2的图像向右平移4个单位长度,得到y=(x-4)2的图像,再向下平移2个单位长度,得到y=(x-4)2-2的图像,即y=x2-8x+14的图像,所以b=-8,c=14.
8.答案　5
解析　f(x)=x2-3x+4=(x-2)2+1.①当b<2时,f(x)在[a,b]上递减.依题意有即解得a=b=,与a≠b矛盾,故舍去.
②当a<2③当a>2时,f(x)在[a,b]上递增,依题意有即a、b是方程x2-3x+4=x的两根,且a综上,a+b=5.
9.答案　
解析　二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R且a≠0)有最小值,则a>0.f(1-x)=f(1)+f(x),即a(1-x)2+b(1-x)+c=a+b+c+ax2+bx+c,即2(a+b)x=-c对任意x∈R恒成立,故a+b=0且c=0,∴f(x)图像的对称轴为直线x=-=.∵f(x)在[2m,m+1]上不单调,∴2m<三、解答题
10.解析　(1)f(x)=(x-2)(x+a)=x2-(2-a)·x-2a,
函数f(x)图像的对称轴为直线x==1,故a=0.
(2)由(1)得f(x)=x2-2x=(x-1)2-1.
因为x∈[0,3],
所以f(x)min=f(1)=-1.
11.解析　(1)当t=1时,x∈[1,3],
由g(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2得
g(x)min=-2,g(x)max=g(1)=g(3)=-1,
因此当t=1时,g(x)的值域为[-2,-1].
(2)当t≥2时,g(x)在[t,t+2]上为增函数,
∴h(t)=g(t)=t2-4t+2.
当t+2≤2,即t≤0时,g(x)在[t,t+2]上递减,
∴h(t)=g(t+2)=t2-2.
当t<2h(t)=g(2)=-2.
综上所述,h(t)=
由h(t)=2得或或
解得t=-2或t=4.
12.解析　(1)证明:原问题可化为证明[f(x1)+f(x2)]-f≥0对任意x1,x2∈R恒成立.∵a>0,∴[f(x1)+f(x2)]-f=≥0,
∴原不等式成立.
(2)由题意得-1≤ax2+x≤1对任意x∈(0,2]恒成立,
即≤a≤在(0,2]上恒成立,
即--≤a≤-对任意x∈(0,2]恒成立.
在x∈(0,2]上,易求得--的最大值为-,-的最小值为-,
∴-≤a≤-.
(3)由题意得m2+m=n2,即(m+2)2-4n2=4,即(m+2-2n)(m+2+2n)=4.
∵(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4为偶数,
∴m+2-2n,m+2+2n同奇同偶,
∴或
解得或