高中数学北师大版（2019）必修 第一册第三章指数函数和与指数运算：指数函数的图像和性质 提升训练（含解析）

指数函数的图像和性质
基础过关练
题组一　指数函数的概念
1.(2021河北保定高一上期中)下列函数中,不能化为指数函数的是 (　　)
A.y=2x·3x B.y=2x-1
C.y=32x D.y=4-x
2.(2020广东湛江一中高一上第一次大考)设函数f(x)=则f(f(-4))= (　　)
A.-4 B. C.1 D.4
3.(2020安徽育才学校高一上期中)若函数f(x)=a-3·ax是指数函数,则f的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.-2 D.2
4.(2020河南郑州一中高一上国庆返校测试)函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为 (　　)
A.1 B.3 C.2 D.1或2
5.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 (　　)
A.a>0,且a≠1 B.a≥0,且a≠1
C.a>,且a≠1 D.a≥
6.若指数函数f(x)的图像经过点(2,9),求f(x)的解析式及f(-1)的值.
题组二　指数型函数的定义域和值域
7.已知函数f(x)=3-x-1,则f(x)的 (　　)
A.定义域是(0,+∞),值域是R
B.定义域是R,值域是(0,+∞)
C.定义域是R,值域是(-1,+∞)
D.定义域、值域都是R
8.下列各函数中,值域为(0,+∞)的是 (　　)
A.y= B.y=
C.y=x2+x+1 D.y=
9.函数y=8-23-x(x≥0)的值域为　　　　.
10.函数y=的值域是　　　　.
11.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.
12.已知函数f(x)=求函数f(x)的值域.
13.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图像经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
题组三　指数型函数的图像及其应用
14.如果a>1,b<-1,那么函数f(x)=ax+b的图像经过 (　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限
15.(2021江西赣州十五县(市)十六校高一上期中联考)函数f(x)=ax与g(x)=x+a在同一坐标系中的图像可能是 (　　)
16.函数f(x)=x2-2|x|(x∈R)的部分图像可能是 (　　)
17.如图,设a,b,c,d均大于0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一平面直角坐标系中的图像如图,则a,b,c,d的大小顺序是 (　　)
A.aC.b18.函数y=(a>1)的图像的大致形状为 (　　)
19.(2021安徽蚌埠田家炳中学、蚌埠五中高一上期中联考)已知函数y=ax+2-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点,则定点的坐标为　　　　.
20.若直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点,求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2020浙江北仑中学高一上期中)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(x1+x2+…+x2019)=9,则f(2x1)·f(2x2)·…·f(2x2019)= (　　)
A.3 B.9 C.27 D.81
2.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图像不经过第一象限,则 (　　)
A.a>1且b≤0 B.a>1且b≤1C.03.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像如图所示,则函数g(x)=ax+b的图像是 (　　)
4.设f(x)=若方程f(x)=a有2个实根,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
5.函数f(x)=的值域是 (　　)
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1] D.(-1,1)
6.如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像经过点E,B,则a等于 (　　)
A. B. C.2 D.3
二、填空题
7.函数g(x)=a2x+1-2(a>0,且a≠1)的图像过定点　　　　.
8.函数y=的定义域是　　　　.
9.函数y=的值域为　　　　　　　.
10.已知实数a,b满足等式3a=5b,下列五个关系式:①011.若函数f(x)=在区间(-∞,1]内有意义,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
12.函数f(x)=4x-2x+1+3的定义域为x∈.
(1)设t=2x,求t的取值范围;
(2)求函数f(x)的值域.
参考答案：
基础过关练
1.B 2.D 3.D 4.C 5.C
7.C 8.A 14.B 15.C 16.C
17.C 18.C
1.B　对于A,y=2x·3x=6x是指数函数;对于B,y=2x-1=不是指数函数;对于C,y=32x=9x是指数函数;对于D,y=4-x=是指数函数.
故选B.
2.D　∵-4<0,∴f(-4)==24=16>0,∴f(f(-4))=f(16)==4,故选D.
3.D　由已知得a-3=1,a>0,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴f==2,故选D.
4.C　因为函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数,所以a2-3a+3=1,a>0,a≠1,所以a=2.故选C.
5.C　依题意得2a-1>0,且2a-1≠1,解得a>,且a≠1,故选C.
6.解析　设f(x)=ax(a>0,且a≠1),将点(2,9)代入,得a2=9,所以a=3,所以f(x)=3x,所以f(-1)=3-1=.
7.C　f(x)=3-x-1的定义域是R,∵y=3-x的值域是(0,+∞),∴f(x)的值域是(-1,+∞).
8.A　函数y=中-可取一切实数,因此y=的值域为(0,+∞),A符合题意;函数y=中0≤1-2x<1,因此y=的值域为[0,1),B不符合题意;函数y=x2+x+1=+≥,因此y=x2+x+1的值域为,C不符合题意;函数y=中≠0,因此≠30,即≠1,因此函数y=的值域为(0,1)∪(1,+∞),D不符合题意.故选A.
9.答案　[0,8)
解析　∵x≥0,∴3-x≤3,∴0<23-x≤8,
∴0≤8-23-x<8,即函数的值域为[0,8).
10.答案　[0,4)
解析　由4x>0得-4x<0,从而16-4x<16,又16-4x≥0,因此0≤16-4x<16,
∴0≤<4,故函数y=的值域是[0,4).
11.解析　当00,且a≠1)为减函数,所以无解;当a>1时,函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)为增函数,所以解得a=(负值舍去).
综上,a的值为.
12.解析　由题知,当x≥3时,f(x)≥23=8;
当2≤x<3时,3≤x+1<4,此时f(x)=f(x+1)=2x+1,所以8≤f(x)<16;同理可得,当x<2时,8≤f(x)<16.综上所述,f(x)的值域为[8,+∞).
13.解析　(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图像经过点,所以a2-1=a=.
(2)由(1)得f(x)=(x≥0),函数f(x)为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值,为2,故f(x)的值域是(0,2],
所以函数y=f(x)+1=+1(x≥0)的值域是(1,3].
14.B　由a>1知,f(x)=ax+b的图像是上升的;由b<-1知,f(0)=a0+b=1+b<0,故f(x)的大致图像如图所示.
由图可知,函数f(x)的图像经过第一、三、四象限,故选B.
15.C　对于A、B,均不满足g(x)=x+a为增函数的性质,故A、B错误;
对于C,由f(x)=ax的图像可得0对于D,由f(x)=ax的图像可得0故选C.
16.C　因为f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),所以y=f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,可排除选项B、D;取x=0,则y=-1,可排除选项A,故选C.
17.C　在同一平面直角坐标系中作出直线x=1,如图所示:
直线x=1与四个函数图像的交点从下到上依次为(1,b)、(1,a)、(1,d)、(1,c),因此a,b,c,d的大小顺序是b18.C　因为当x>0时,y==ax;当x<0时,y=-ax,所以y=又a>1,所以其图像大致形状与选项C吻合,故选C.
19.答案　(-2,-1)
解析　因为y=ax恒过点(0,1),将y=ax的图像向左平移2个单位,再向下平移2个单位,即可得y=ax+2-2的图像,又点(0,1)平移后得到点(-2,-1),
所以y=ax+2-2恒过定点(-2,-1).
20.解析　依题意得y=|2x-1|
=作出图像如图所示,
由图可知,要使直线y=2a与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点,需0<2a<1,即0能力提升练
1.D 2.C 3.A 4.D 5.D
6.A
一、选择题
1.D　由题意f(x1+x2+…+x2019)==9,
∴f(2x1)·f(2x2)·…·f(2x2019)=··…·==
=92=81.故选D.
2.C　函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图像不经过第一象限,则函数y=ax+b-1单调递减,即0综上可得,03.A　由f(x)的图像得0所以g(x)=ax+b的图像是下降的,
且g(0)=1+b<0,故选A.
4.D　f(x)的图像如图所示.
由图可知,当且仅当a≥1时,直线y=a与y=f(x)的图像有2个交点,从而f(x)=a有2个实根.
5.D　f(x)===1-.
∵10x>0,∴(10x)2+1>1,
∴0<<2,从而-2<-<0,
∴-1<1-<1,
即-16.A　设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A,E,B.又因为点E,B在指数函数的图像上,所以
①式两边平方得m2=,③
②③联立,得m2-2m=0,
所以m=0(舍去)或m=2,
将m=2代入①式,得2=a2,
所以a=(负值舍去).
二、填空题
7.答案　
解析　在函数g(x)=a2x+1-2(a>0,且a≠1)中,令2x+1=0,得x=-,且g=×a0-2=-,是定值,故g(x)的图像过定点.
8.答案　(-∞,0]
解析　若使得函数y=有意义,则
2-x-1≥0,整理得≥1,即≥,由指数函数的单调性可得x≤0,故答案为(-∞,0].
9.答案　∪
解析　设u=,则u==-1.
∵≠0,∴u≠-1,
∴y≠2-1=,又y>0,
∴y=的值域为0,∪,+∞.
10.答案　③④⑤
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y=3x和y=5x的图像,如图所示:
由于实数a,b满足等式3a=5b,借助图像进行分析:若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b均为负数,则a11.答案　
解析　依题意得1+a·3x≥0在区间(-∞,1]上恒成立,即a≥-在区间(-∞,1]上恒成立,由-在区间(-∞,1]上的最大值为-,得a≥-.
三、解答题
12.解析　(1)∵t=2x在x∈上单调递增,∴t∈.
(2)令t=2x,则g(t)=t2-2t+3,t∈.
∵y=g(t)在上单调递减,在[1,]上单调递增,
比较得g∴f(x)min=g(1)=2,f(x)max=g()=5-2,
∴函数f(x)的值域为[2,5-2].