高中数学北师大版（2019）必修 第一册第三章 指数函数和与指数运算：指数概念的扩充指数运算的性质提升训练（含解析）

指数概念的扩充 指数运算的性质
基础过关练
题组一　根式与分数指数幂的互化
1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　　)
A.-=-(x>0)
B.=
C.=(xy>0)
D.=(y<0)
2.(2021重庆南开中学高一上月考)已知a>0,则= (　　)
A. B. C. D.
3.(2020安徽芜湖高一上期中联考)用分数指数幂表示,正确的是 (　　)
A. B. C. D.
4.()4·()4的结果是 (　　)
A.a16 B.a8 C.a4 D.a2
5.化简:(a2·)÷(·)=　　　　.(用分数指数幂表示)
6.将下列根式化为分数指数幂的形式:
(1)m2·(m>0);
(2)(m>0);
(3)(a>0,b>0);
(4)(x>0,y>0).
题组二　分数指数幂及其运算
7.(2021河南豫西名校高一联考)计算:62= (　　)
A.5 B.25 C.±5 D.±25
8.若(1-2x有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.x∈R B.x∈R且x≠
C.x> D.x<
9.计算:×= (　　)
A.-3 B.- C.3 D.
10.计算:++(2 020)0= (　　)
A.6 B.7
C.8 D.
11.化简下列各式:
(1);
(2)(··z-1)·(x-1··z3;
(3)++-(1.03)0×.
题组三　条件求值问题
12.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x表示y为 (　　)
A.y= B.y= C.y= D.y=
13.若a>0,且ax=3,ay=5,则=　　　　.
14.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.
15.先化简,再求值:已知a=2,b=5,求·的值.
16.当x>0,y>0,且(+)=3·(+5)时,求的值.
能力提升练
一、选择题
1.(2021湖南娄底高一上期中联考)下列式子中,成立的是 (　　)
A.a=
B.a=-
C.a=
D.a=-
2.+2-2×-(0.01= (　　)
A. B.3
C.-8 D.0
3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+0.1的图像如图所示,则的值为 (　　)
A.a+b B.-(a+b)
C.a-b D.b-a
4.化简得 (　　)
A.3+ B.2+
C.1+2 D.1+2
5.(2021山东淄博一中高一上月考)已知a=,则--的结果是 (　　)
A.0 B.1- C. D.--1
6.已知a+a-1=3,则下列各式中正确的个数是 (　　)
①a2+a-2=7;②a3+a-3=18;③+=±;④a+=2.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7.计算(-8××()=　　　　.
8.已知a=3,则+++的值为　　　　　.
9.(+)2 018×(-)2 019=　　　　.
10.化简÷×=　　　　　.
11.已知=55b=153c,则5ab-bc-3ac=　　　　.
三、解答题
12.化简:()2++.
13.(1)(2021河北唐山高一上期中联考)计算:-+[(-2)3+16-0.75+(0.01;
(2)(2021陕西西安碑林高一上期中质检)计算:+0.1-2+-3π0+.
14.(1)(2021河南商丘一中高一上期中)已知a2x=3,求的值;
(2)(2021山西临汾一中高一上期中,)若+=,求的值.
参考答案：
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.C 7.A
8.D 9.D 10.B 12.D
1.C　A中,-=-(x>0);B中,=;C中,==(xy>0);D中,=(-y(y<0).故C正确,故选C.
2.B　===.故选B.
3.B　=====.
故选B.
4.C　()4·()4=()4·()4=()4·()4=a4.
5.答案　
解析　(a2·)÷(·)
=a2·÷(·)=÷=÷==.
6.解析　(1)m2·=m2·==(m>0).
(2)==
=(=(m>0).
(3)原式=[ab3(ab5=(a··b3·=(=(a>0,b>0).
(4)解法一:从外向里化为分数指数幂.
=
=
=
=··
=··
==(x>0,y>0).
解法二:从里向外化为分数指数幂.
=
==
==(x>0,y>0).
7.A　==5.
8.D　∵(1-2x=,
∴1-2x>0,解得x<,故选D.
9.D　(-27×=(-33×(32
=(-3)2×3-3=32×3-3=3-1=.
故选D.
10.B　++(2 020)0=2+4+1=7,故选B.
11.解析　(1)原式==·=.
(2)原式=(z-1)·(z-1)=z-1-1=xz-2.
(3)原式=++(+)2-1×=++5+2+=.
12.D　由x=1+2b,得2b=x-1,
∴y=1+2-b=1+=1+=.
13.答案　9
解析　由题得=(ax)2·(ay=32×=9.
14.答案　;
解析　利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,α·β=,则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2α·β=.
15.解析　a6b-6-6a3b-1+9b4=,
因为a=2,b=5,所以a3b-3<3b2.
所以原式=·
=-=-=-b3.
因为b=5,所以原式=-250.
方法总结
化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;③化小数为分数.
16.解析　由条件整理得x-2-15y=0,
即(+3)(-5)=0,
又x>0,y>0,∴=5,∴x=25y,
∴==2.
能力提升练
1.B 2.A 3.D 4.A 5.B
6.C
一、选择题
1.B　若a有意义,则-a≥0,可得a≤0,∴a=-(-a)=-=-.故选B.
2.A　原式=1+×-(10-2
=1+×-10-1
=1+-=.
3.D　由图知f(-1)=a-b+0.1<0,
∴a-b<-0.1<0,
∴=|a-b|=-(a-b)=b-a.
4.A　原式=
=
=
==
==
=3+,故选A.
5.B　由已知得0--
=--
=a-1+-=a-1.
∵a==2-,
∴原式=2--1=1-,故选B.
6.C　由a+a-1=3,得(a+a-1)2=9,
化简,得a2+a-2=7,故①正确;
由a3+a-3=(a+a-1)(a2-a·a-1+a-2),得a3+a-3=3×(7-1)=18,故②正确;
由(+)2=a+2·+a-1=5,
且a>0,得+=,故③错误;
由=a3+a-3+2=18+2=20,
且a>0,得a+=2,
故④正确.故选C.
二、填空题
7.答案　
解析　原式=[(-2)3×()-2×(3-3=(-2)-2×21×3-1
=×2×=.
8.答案　-1
解析　+++=++=++=+=+==.
因为a=3,所以原式=-1.
9.答案　-
解析　(+)2 018×(-)2 019=[(+)(-)]2 018×(-)=12 018×(-)=-.
10.答案　a2
解析　原式=
÷×=(-2)××=a2.
11.答案　0
解析　因为153(5ab-bc-3ac)===·=1,
所以3(5ab-bc-3ac)=0,即5ab-bc-3ac=0.
三、解答题
12.解析　依题意得a-1≥0,即a≥1,∴原式=a-1+|1-a|+(-a)=a-1+a-1+(-a)=a-2.
13.解析　(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1
=-1+++=.
(2) 原式=++-3+=+100+-3+=100.
14.解析　(1)因为a2x=3,所以==a2x-1+a-2x=3-1+=.
(2)因为+=,
所以x+x-1=-2=-2=4,
x2+x-2=-2=42-2=14,
所以==.