广西桂林市联盟校2023届高三上学期理数9月入学统一检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·桂林开学考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法等差集合A，再利用一元二次不等式求解方法得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2022高三上·桂林开学考）已知复数，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】，则，
所以，，所以，，，
故，因此，。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和虚数单位i的周期性，再结合复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z，再利用复数求模公式得出复数z的模。
3．（2022高三上·桂林开学考）已知向量，，则“存在实数，使得”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由存在实数，使得，可得共线；
但当时，共线，此时不一定存在实数，使得，所以“存在实数，使得”是“，共线”的充分不必要条件。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出 “存在实数，使得”是“，共线”的充分不必要条件。
4．（2022高三上·桂林开学考）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少，设大雪的晷长为，则，解得。
故答案为：B.
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少，设大雪的晷长为，再利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而得出d，x的值，从而得出大雪所对的晷长。
5．（2022高三上·桂林开学考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
当时，，，，可排除A.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
6．（2022高二下·红河期末）从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从6名同学中任选2人，共有种选法；
从4名男同学中任选2人，共有种选法；
所以选中的2人都是男同学的概率。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出选中的2人都是男生的概率 。
7．（2022高三上·桂林开学考）我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A．25 B．45 C．55 D．75
【答案】A
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】；；；；；，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，进而求出输出的n的值。
8．（2022高三上·桂林开学考）一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，
如图所示：
该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，
四棱锥的高即为
所以，
解得，
由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，
设四棱锥的外接球的半径为r，
所以，
解得，
所以外接球的表面积。
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，再利用已知条件结合三视图中的数据得出该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为，再利用四棱锥的体积公式和已知条件得出PD的长，由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，再利用勾股定理得出r的值，再结合球的表面积公式得出外接球的表面积。
9．（2022高三上·桂林开学考）已知满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】因为，
所以
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正切公式和角之间的关系式，再利用两角差的正切公式，进而得出的值。
10．（2022·石家庄模拟）已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F，P，M三点共线时，最小为。
故答案为：A
【分析】由抛物线可知焦点坐标和准线方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，再利用抛物线的定义得出，当F，P，M三点共线时，得出的最小为，再结合勾股定理得出 的最小值 。
11．（2022高三上·桂林开学考）已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数是偶函数，
则函数的对称轴为，
则有，
又由函数的图象关于点成中心对称，
则，
则有，即，
变形可得，
则函数是周期为8的周期函数，
。
故答案为：B.
【分析】根据题意，函数是偶函数，再利用偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，进而得出函数的对称轴，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，变形可得，再利用周期函数的定义求出函数的周期，再结合函数定点周期性求出函数的值。
12．（2022高三上·桂林开学考）已知实数a，b满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，
故，
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换底公式和构造法，再结合指数函数的单调性和对数函数的单调性， 从而结合比较法得出。
二、填空题
13．（2022·包头二模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】3x-y+5=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，则，故点处的切线方程为，即3x-y+5=0.
故答案为：3x-y+5=0.
【分析】 先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.
14．（2022高三上·桂林开学考）在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题设，二项展开式通项公式为，
由第四项是常数项，即时，，故，
所以常数项为。
故答案为：160。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式中的常数项的值。
15．（2022高三上·桂林开学考）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为。
故答案为：。
【分析】设的半焦距为c（），进而得出焦点坐标，再利用A为椭圆的下顶点，从而得出点A的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线AF的斜率，再利用直线与的一条渐近线平行和两直线平行斜率相等，所以，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式得出的值，再结合均值不等式求最值的方法得出的最小值。
16．（2022高三上·桂林开学考）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵
，
由，可得，
∴，或，
对于函数在上单调递增，
又，
∴存在，使，即，
由，可得，
由题可得直线与有两个交点，
∵，由，可得，
∴单调递增，单调递减，
故函数，
作出函数与直线的图象，
由图可得，即，
综上所述，函数有3个不同的零点，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由，可得或，对于函数，再结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理得出存在，使，即，可得，由题可得直线与有两个交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，故函数，作出函数与直线的图象，由图可得函数有3个不同的零点时的实数的取值范围。
三、解答题
17．（2022高三上·桂林开学考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）解：由，可得，
得，则，
由于，所以．
（2）解：由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，进而得出a的值，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 面积的最大值 。
18．（2022高三上·桂林开学考）2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
附：，
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
【答案】（1）解：因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）解：因为，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而将列联表补充完整。
（2）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关。
19．（2022高三上·桂林开学考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
（1）证明：图2中C，D，E，G四点共面；
（2）求图2中二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，
∴，
∴，，，四点共面．
（2）解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，．
∴，，，．
设平面的一个法向量为，则，即．
令，则．∴．
设平面的一个法向量为．则，令，可得．
∴，显然二面角为锐角．
∴二面角的平面角的余弦值为．
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用四边形和分别是矩形和菱形，所以，，再利用平行的传递性得出，再利用四点共面的判断方法，从而证出，，，四点共面。
（2） 在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合二面角为锐角，从而得出二面角的平面角的余弦值。
20．（2022高三上·桂林开学考）已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
【答案】（1）解：由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，
所以，
又，则，
所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，
由得：，
则，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，再利用椭圆的定义得出a的值，再结合椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，再利用两点关于x轴对称，则，再结合直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用作差法和三角形的面积公式以及均值不等式求最值的方法得出三角形面积的最大值。
21．（2022高三上·桂林开学考）已知函数．
（1）若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
（2）解：因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，，再利用分类讨论的方法和导数判断函数的单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再结合零点存在性定理得出函数在上仅有一个零点对应的实数a的取值范围。
（2）对任意的，恒成立，等价于在上恒成立，令，再利用不等式恒成立问题求解方法，则只需即可，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，所以在上单调递减，在上单调递增，再利用，所以，设，再利用求导的方法判断函数S(x)的单调性，进而得出函数m(x)的最小值，从而得出实数a的取值范围。
22．（2022高三上·桂林开学考）已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．
【答案】（1）解：由（t为参数），
可得l的普通方程为；
由曲线C的极坐标方程及
可得，
整理得，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）解：易知点M在直线 l 上，
将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，
即，
设P，Q对应的参数分别为，则，
因为，
所以．
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而得出直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程。
（2）利用已知条件结合直线与曲线相交，联立二者方程结合韦达定理，再结合 和两点求距离公式，进而得出的值。
23．（2022高三上·桂林开学考）已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若存在实数x，使得成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：由题得，
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，可得，
综上，的解集为．
（2）解：∵，即，
又存在实数x，使得成立，∴，解得，
故实数t的取值范围为．
【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式 的解集 。
（2）利用已知条件结合绝对值三角不等式得出 ，再利用存在实数x，使得成立，得出，再结合绝对值不等式求解方法得出实数t的取值范围。
1 / 1广西桂林市联盟校2023届高三上学期理数9月入学统一检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·桂林开学考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·桂林开学考）已知复数，若，则（ ）
A． B． C． D．3
3．（2022高三上·桂林开学考）已知向量，，则“存在实数，使得”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高三上·桂林开学考）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
5．（2022高三上·桂林开学考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·红河期末）从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
7．（2022高三上·桂林开学考）我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A．25 B．45 C．55 D．75
8．（2022高三上·桂林开学考）一个几何体的三视图如图所示， 若这个几何体的体积为 ， 则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·桂林开学考）已知满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·石家庄模拟）已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·桂林开学考）已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（ ）
A． B． C．0 D．2
12．（2022高三上·桂林开学考）已知实数a，b满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022·包头二模）曲线在点处的切线方程为 .
14．（2022高三上·桂林开学考）在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 .
15．（2022高三上·桂林开学考）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
16．（2022高三上·桂林开学考）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 .
三、解答题
17．（2022高三上·桂林开学考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若，求面积的最大值．
18．（2022高三上·桂林开学考）2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
附：，
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
19．（2022高三上·桂林开学考）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
（1）证明：图2中C，D，E，G四点共面；
（2）求图2中二面角的平面角的余弦值．
20．（2022高三上·桂林开学考）已知P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，且椭圆离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值
21．（2022高三上·桂林开学考）已知函数．
（1）若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
22．（2022高三上·桂林开学考）已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．
23．（2022高三上·桂林开学考）已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若存在实数x，使得成立，求实数t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法等差集合A，再利用一元二次不等式求解方法得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】，则，
所以，，所以，，，
故，因此，。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和虚数单位i的周期性，再结合复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z，再利用复数求模公式得出复数z的模。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由存在实数，使得，可得共线；
但当时，共线，此时不一定存在实数，使得，所以“存在实数，使得”是“，共线”的充分不必要条件。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出 “存在实数，使得”是“，共线”的充分不必要条件。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少，设大雪的晷长为，则，解得。
故答案为：B.
【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少，设大雪的晷长为，再利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而得出d，x的值，从而得出大雪所对的晷长。
5．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
当时，，，，可排除A.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从6名同学中任选2人，共有种选法；
从4名男同学中任选2人，共有种选法；
所以选中的2人都是男同学的概率。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出选中的2人都是男生的概率 。
7．【答案】A
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】；；；；；，
所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构、循环结构，进而求出输出的n的值。
8．【答案】C
【知识点】由三视图求面积、体积
【解析】【解答】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，
如图所示：
该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，
四棱锥的高即为
所以，
解得，
由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，
设四棱锥的外接球的半径为r，
所以，
解得，
所以外接球的表面积。
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，再利用已知条件结合三视图中的数据得出该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为，再利用四棱锥的体积公式和已知条件得出PD的长，由题意易知该四棱锥的外接球等价于长方体外接球，设四棱锥的外接球的半径为r，再利用勾股定理得出r的值，再结合球的表面积公式得出外接球的表面积。
9．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】因为，
所以
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正切公式和角之间的关系式，再利用两角差的正切公式，进而得出的值。
10．【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F，P，M三点共线时，最小为。
故答案为：A
【分析】由抛物线可知焦点坐标和准线方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，再利用抛物线的定义得出，当F，P，M三点共线时，得出的最小为，再结合勾股定理得出 的最小值 。
11．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】根据题意，函数是偶函数，
则函数的对称轴为，
则有，
又由函数的图象关于点成中心对称，
则，
则有，即，
变形可得，
则函数是周期为8的周期函数，
。
故答案为：B.
【分析】根据题意，函数是偶函数，再利用偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，进而得出函数的对称轴，则有，又由函数的图象关于点成中心对称，则，变形可得，再利用周期函数的定义求出函数的周期，再结合函数定点周期性求出函数的值。
12．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，
故，
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换底公式和构造法，再结合指数函数的单调性和对数函数的单调性， 从而结合比较法得出。
13．【答案】3x-y+5=0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，则，故点处的切线方程为，即3x-y+5=0.
故答案为：3x-y+5=0.
【分析】 先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.
14．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题设，二项展开式通项公式为，
由第四项是常数项，即时，，故，
所以常数项为。
故答案为：160。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式中的常数项的值。
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为。
故答案为：。
【分析】设的半焦距为c（），进而得出焦点坐标，再利用A为椭圆的下顶点，从而得出点A的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线AF的斜率，再利用直线与的一条渐近线平行和两直线平行斜率相等，所以，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式得出的值，再结合均值不等式求最值的方法得出的最小值。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵
，
由，可得，
∴，或，
对于函数在上单调递增，
又，
∴存在，使，即，
由，可得，
由题可得直线与有两个交点，
∵，由，可得，
∴单调递增，单调递减，
故函数，
作出函数与直线的图象，
由图可得，即，
综上所述，函数有3个不同的零点，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由，可得或，对于函数，再结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理得出存在，使，即，可得，由题可得直线与有两个交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，故函数，作出函数与直线的图象，由图可得函数有3个不同的零点时的实数的取值范围。
17．【答案】（1）解：由，可得，
得，则，
由于，所以．
（2）解：由，可得，又，则，
则，（当且仅当时等号成立）
则，（当且仅当时等号成立）
则，
即面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，进而得出a的值，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 面积的最大值 。
18．【答案】（1）解：因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）解：因为，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而将列联表补充完整。
（2）利用已知条件结合独立性检验的方法，从而有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关。
19．【答案】（1）证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，
∴，，
∴，
∴，，，四点共面．
（2）解：在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，．
∴，，，．
设平面的一个法向量为，则，即．
令，则．∴．
设平面的一个法向量为．则，令，可得．
∴，显然二面角为锐角．
∴二面角的平面角的余弦值为．
【知识点】共面向量定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用四边形和分别是矩形和菱形，所以，，再利用平行的传递性得出，再利用四点共面的判断方法，从而证出，，，四点共面。
（2） 在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合二面角为锐角，从而得出二面角的平面角的余弦值。
20．【答案】（1）解：由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，可得，，
所以，
又，则，
所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，则，
由得：，
则，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以，面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由P为椭圆（）上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，再利用椭圆的定义得出a的值，再结合椭圆的离心率公式得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出b的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 由题意可知过的直线l斜率存在且，可设其方程为，，，再利用两点关于x轴对称，则，再结合直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用作差法和三角形的面积公式以及均值不等式求最值的方法得出三角形面积的最大值。
21．【答案】（1）解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
（2）解：因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，，再利用分类讨论的方法和导数判断函数的单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再结合零点存在性定理得出函数在上仅有一个零点对应的实数a的取值范围。
（2）对任意的，恒成立，等价于在上恒成立，令，再利用不等式恒成立问题求解方法，则只需即可，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，所以在上单调递减，在上单调递增，再利用，所以，设，再利用求导的方法判断函数S(x)的单调性，进而得出函数m(x)的最小值，从而得出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：由（t为参数），
可得l的普通方程为；
由曲线C的极坐标方程及
可得，
整理得，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）解：易知点M在直线 l 上，
将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，
即，
设P，Q对应的参数分别为，则，
因为，
所以．
【知识点】平面内两点间的距离公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而得出直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程。
（2）利用已知条件结合直线与曲线相交，联立二者方程结合韦达定理，再结合 和两点求距离公式，进而得出的值。
23．【答案】（1）解：由题得，
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，可得，
综上，的解集为．
（2）解：∵，即，
又存在实数x，使得成立，∴，解得，
故实数t的取值范围为．
【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式 的解集 。
（2）利用已知条件结合绝对值三角不等式得出 ，再利用存在实数x，使得成立，得出，再结合绝对值不等式求解方法得出实数t的取值范围。
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