广西南宁市2022-2023学年高二上学期数学开学教学质量调研试卷
一、单选题
1．（2022高二上·南宁开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法，进而得出集合A，再利用并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．（2022高二上·南宁开学考）若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数，
对应点为，位于第二象限。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定所在的象限。
3．（2022高二上·南宁开学考）下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】对A，原式，正确；
对B，原式，正确；
对C，原式，正确；
对D，原式，错误.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合三角形法则，进而得出化简结果错误的选项。
4．（2022高二上·南宁开学考）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．
则球的体积，圆柱的体积，
∴。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合球的体积公式和圆柱的体积公式，进而得出球与圆柱的体积之比。
5．（2022高二上·南宁开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到的第一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，
则从中不放回地依次随机摸出2个球有
共20种，
第一次摸到红球有共8种，
所以摸到的第一个球是红球的概率为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出摸到的第一个球是红球的概率。
6．（2022高二上·南宁开学考）若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由得，则。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而得出，从而找出正确的选项。
7．（2022高二上·南宁开学考）已知函数，则方程在内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】由得：，令，则，
设，则，
当时，，则，故在内单调递减，又，故在内只有一个零点；
当时，，，故在内单调递增，又，故在内只有一个零点；
综上所述，在内有两个零点，即方程在内有两个实数解.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，再利用函数的零点与方程的解的等价关系，进而得出方程在内有两个实数解。
8．（2022高二上·南宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，E为梭上的动点，若的最小值为，则（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
【答案】A
【知识点】三点共线；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为平面，平面，所以，
又平面，
因此平面，平面，则，
将沿棱翻折至与底面共面，如图所示，设，则，当且仅当，E，D三点共线时，取得最小值，故，故。
故答案为：A．
【分析】利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，因此平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，将沿棱翻折至与底面共面，设，则，当且仅当，E，D三点共线时，取得最小值，再利用勾股定理得出x的值，从而得出PB的长。
二、多选题
9．（2022高二上·南宁开学考）下列命题正确的是（ ）
A．已知是两个不共线的向量，若，则与不共线
B．已知，为两个非零向量，若，则
C．设，则与的夹角
D．已知，且与不共线，则是与互相垂直的必要不充分条件
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A．由于，故与是共线，A不符合题意；
B．由得，化简得，因为为两个非零向量，所以，B符合题意；
C．由，得．因为，所以，C符合题意；
D．与互相垂直的充要条件是，即．
因为，所以，解得，
所以是与互相垂直的充分不必要条件，D不符合题意。
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合平面向量的基本定理和向量共线定理，进而判断出与是共线；再利用数量积求向量的模公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；再利用已知条件结合数量积的定义得出 与的夹角；再利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出是与互相垂直的充分不必要条件，从而找出命题正确的选项。
10．（2022高二上·南宁开学考）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．单调递增区间
C．图像的一个对移中心为
D．图像的一条对称轴为直线
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数的图像先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到的图像，则其最小正周期为，A符合题意；
令解得增区间是，B符合题意；
当时函数的值为，C不符合题意；
当时，函数的值为，
故图像的一条对称轴为直线，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数g(x)的最小正周期；再结合正弦型函数的图象求出其对称中心和对称轴，再利用正弦型函数的图象判断函数的单调性，进而得出正弦型函数的单调递增区间，从而找出关于函数g(x)的说法正确的选项。
11．（2022高二上·南宁开学考）过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是边的中点
C．若，垂足都为P，则点O是的垂心
D．若P到三条边的距离相等，则点O是的重心
【答案】A,B,C
【知识点】三角形五心
【解析】【解答】对A，如图，因为，所以，故，
又，所以，故可得，同理可得，，
所以点O是的外心，A符合题意；
对B，由A可得点O是的外心，又因为，
根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即外心点O是边的中点，B符合题意；
对C，因为，且平面，所以平面，所以．
因为，所以．又平面，
所以平面，所以，
同理可得，故点O是的垂心，C符合题意．
对D，若P到三条边的距离相等，则点O到三条边的距离也相等，故点O是的内心，D不符合题意，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合三角形的五心的定义和线面垂直的定义证出线线垂直，从而找出说法正确的选项。
12．（2020高三上·龙海月考）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为 ，
对于A， ，
则 为奇函数，A不符合题意；
对于B， ，即 为偶函数，
当 时，设 ，则 ，
由对勾函数性质可得，当 时是增函数，又 单调递增，
所以 在 上单调递增，B符合题意；
对于C， ，即 为偶函数，
由二次函数性质，可知对称轴为 ，
则 在 上单调递增，C符合题意；
对于D，由余弦函数的性质，可知 是偶函数，
但在 内有增有减，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为 ，先利用定义法求出 与 的关系从而判断奇偶性，再根据函数的性质判断单调性，即可得到结果.
三、填空题
13．（2022高二上·南宁开学考）某防疫站对学生进行身体健康调查，采用按比例分层抽样的方法抽取样本，立德中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生人数为120人，则该校的女生人数是 ．
【答案】800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵样本容量为200，男生有120人，
∴样本中女生有80人，由分层抽样的抽样比为，
∴总体中女生有800人。
故答案为：800。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法得出该校的女生的人数。
14．（2019高一上·大庆月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为 ，由题意可得： ，
据此可得这个扇形中心角的弧度数为 。
【分析】利用扇形的弧长公式结合扇形的面积公式，从而建立扇形中心角的弧度数和圆的半径方程组，从而求出这个扇形中心角的弧度数。
15．（2022高二上·南宁开学考）已知函数，则函数的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为，所以，
所以，所以的最大值为1。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和构造法以及不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象判断其单调性， 从而求出函数在给定区间的最大值。
16．（2022高二上·南宁开学考）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点．当底面水平放置时，液面高为 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设的面积为，则，
水的体积，
当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，
则有，
故。
故答案为：6。
【分析】根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设的面积为，则，再利用棱柱的体积公式得出水的体积，当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，则有，进而得出h的值，从而得出液面的高。
四、解答题
17．（2022高二上·南宁开学考）在△中，，，求的值.
【答案】解：在中，由，，得，
所以.
又，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】利用已知条件结合三角形中角A的取值范围和同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正切值，再结合两角和的正切公式和二倍角的正切公式，进而得出 的值。
18．（2022高二上·南宁开学考）某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及样本中男生身高在（单位：cm）的人数；
（2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（3）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.
【答案】（1）解：根据题意，
.
解得 ．
所以样本中学生身高在内（单位：）的人数为
（2）解：设样本中男生身高的平均值为，则
．
估计该校男生的平均身高为．
（3）解：由，根据直方图，
因为
所以样本中的85%分位数落在内，
设85%分位数为，则，
解得.
所以估计该校男生身高的85%分位数为183 cm.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而得出样本中男生身高在（单位：cm）的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而通过样本估计该校全体男生的平均身高。
（3）利用（1）求出的a的值，再结合分位数的求解方法，从而根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数。
19．（2022高二上·南宁开学考）已知，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，请判断的形状．
【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：由（1）可知，，因为，
所以，所以
因为，所以
所以，解得，
由余弦定理可得，
又因为，所以，即，
所以，
所以为等边三角形．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
（2） 由（1）可知，，再利用结合代入法得出，再利用三角形中角B的取值范围和构造法和不等式的基本性质，从而得出角B的值，再利用余弦定理结合，所以，再利用等边三角形的定义判断出三角形的形状。
20．（2022高二上·南宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，连结，设与的交点为O，连接．
因为四边形为矩形，
所以点O为的中点．
又点E为的中点，所以．
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：作于点H．
∵平面，平面，
∴
又∵为矩形，，
∴
由，可得．
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，故平面，
即的长就是点A到平面的距离．
因为，所以，
因此为与平面所成角，则．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连结，设与的交点为O，连接，利用四边形为矩形，所以点O为的中点，再利用点E为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 作于点H，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形为矩形，所以，再利用三棱锥的体积公式和，进而得出AB的长，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，即的长就是点A到平面的距离，再利用勾股定理得出PB的长，再结合对应边成比例得出AH的长，因此为与平面所成角，再结合正弦函数的定义得出的值。
21．（2022高一下·海安期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
【答案】（1）解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故
（2）解：记事件B为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)结合题意由n次独立事件的概率公式，结合概率加法个数代入数值计算出结果即可。
(2)由已知条件结合概率乘法和加法公式，代入数值计算出结果即可。
22．（2022高二上·南宁开学考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
【答案】解：设，
当时，，
∴，
∴，
∴两项费用之和为．
当且仅当时，即当时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用已知条件结合数学建模的方法得出两项费用之和关于x的关系式，再结合均值不等式求最值的方法得出应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元。
1 / 1广西南宁市2022-2023学年高二上学期数学开学教学质量调研试卷
一、单选题
1．（2022高二上·南宁开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·南宁开学考）若复数（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高二上·南宁开学考）下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·南宁开学考）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·南宁开学考）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到的第一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·南宁开学考）若，则有（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·南宁开学考）已知函数，则方程在内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022高二上·南宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，且，E为梭上的动点，若的最小值为，则（ ）
A．8 B．4 C．6 D．2
二、多选题
9．（2022高二上·南宁开学考）下列命题正确的是（ ）
A．已知是两个不共线的向量，若，则与不共线
B．已知，为两个非零向量，若，则
C．设，则与的夹角
D．已知，且与不共线，则是与互相垂直的必要不充分条件
10．（2022高二上·南宁开学考）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．单调递增区间
C．图像的一个对移中心为
D．图像的一条对称轴为直线
11．（2022高二上·南宁开学考）过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点O是边的中点
C．若，垂足都为P，则点O是的垂心
D．若P到三条边的距离相等，则点O是的重心
12．（2020高三上·龙海月考）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2022高二上·南宁开学考）某防疫站对学生进行身体健康调查，采用按比例分层抽样的方法抽取样本，立德中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生人数为120人，则该校的女生人数是 ．
14．（2019高一上·大庆月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为 ．
15．（2022高二上·南宁开学考）已知函数，则函数的最大值为 ．
16．（2022高二上·南宁开学考）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点．当底面水平放置时，液面高为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·南宁开学考）在△中，，，求的值.
18．（2022高二上·南宁开学考）某中学（含初高中6个年级）随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及样本中男生身高在（单位：cm）的人数；
（2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（3）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.
19．（2022高二上·南宁开学考）已知，函数．
（1）求的最小正周期；
（2）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，请判断的形状．
20．（2022高二上·南宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．
21．（2022高一下·海安期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率．
22．（2022高二上·南宁开学考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法，进而得出集合A，再利用并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】复数，
对应点为，位于第二象限。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定所在的象限。
3．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】对A，原式，正确；
对B，原式，正确；
对C，原式，正确；
对D，原式，错误.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合三角形法则，进而得出化简结果错误的选项。
4．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．
则球的体积，圆柱的体积，
∴。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合球的体积公式和圆柱的体积公式，进而得出球与圆柱的体积之比。
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，
则从中不放回地依次随机摸出2个球有
共20种，
第一次摸到红球有共8种，
所以摸到的第一个球是红球的概率为。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出摸到的第一个球是红球的概率。
6．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由得，则。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而得出，从而找出正确的选项。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】由得：，令，则，
设，则，
当时，，则，故在内单调递减，又，故在内只有一个零点；
当时，，，故在内单调递增，又，故在内只有一个零点；
综上所述，在内有两个零点，即方程在内有两个实数解.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，再利用函数的零点与方程的解的等价关系，进而得出方程在内有两个实数解。
8．【答案】A
【知识点】三点共线；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为平面，平面，所以，
又平面，
因此平面，平面，则，
将沿棱翻折至与底面共面，如图所示，设，则，当且仅当，E，D三点共线时，取得最小值，故，故。
故答案为：A．
【分析】利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，因此平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，将沿棱翻折至与底面共面，设，则，当且仅当，E，D三点共线时，取得最小值，再利用勾股定理得出x的值，从而得出PB的长。
9．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A．由于，故与是共线，A不符合题意；
B．由得，化简得，因为为两个非零向量，所以，B符合题意；
C．由，得．因为，所以，C符合题意；
D．与互相垂直的充要条件是，即．
因为，所以，解得，
所以是与互相垂直的充分不必要条件，D不符合题意。
故答案为：BC．
【分析】利用已知条件结合平面向量的基本定理和向量共线定理，进而判断出与是共线；再利用数量积求向量的模公式和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；再利用已知条件结合数量积的定义得出 与的夹角；再利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出是与互相垂直的充分不必要条件，从而找出命题正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数的图像先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到的图像，则其最小正周期为，A符合题意；
令解得增区间是，B符合题意；
当时函数的值为，C不符合题意；
当时，函数的值为，
故图像的一条对称轴为直线，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数g(x)的最小正周期；再结合正弦型函数的图象求出其对称中心和对称轴，再利用正弦型函数的图象判断函数的单调性，进而得出正弦型函数的单调递增区间，从而找出关于函数g(x)的说法正确的选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】三角形五心
【解析】【解答】对A，如图，因为，所以，故，
又，所以，故可得，同理可得，，
所以点O是的外心，A符合题意；
对B，由A可得点O是的外心，又因为，
根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即外心点O是边的中点，B符合题意；
对C，因为，且平面，所以平面，所以．
因为，所以．又平面，
所以平面，所以，
同理可得，故点O是的垂心，C符合题意．
对D，若P到三条边的距离相等，则点O到三条边的距离也相等，故点O是的内心，D不符合题意，
故答案为：ABC．
【分析】利用已知条件结合三角形的五心的定义和线面垂直的定义证出线线垂直，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为 ，
对于A， ，
则 为奇函数，A不符合题意；
对于B， ，即 为偶函数，
当 时，设 ，则 ，
由对勾函数性质可得，当 时是增函数，又 单调递增，
所以 在 上单调递增，B符合题意；
对于C， ，即 为偶函数，
由二次函数性质，可知对称轴为 ，
则 在 上单调递增，C符合题意；
对于D，由余弦函数的性质，可知 是偶函数，
但在 内有增有减，D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】易知A，B，C，D四个选项中的函数的定义域均为 ，先利用定义法求出 与 的关系从而判断奇偶性，再根据函数的性质判断单调性，即可得到结果.
13．【答案】800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】∵样本容量为200，男生有120人，
∴样本中女生有80人，由分层抽样的抽样比为，
∴总体中女生有800人。
故答案为：800。
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法得出该校的女生的人数。
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为 ，由题意可得： ，
据此可得这个扇形中心角的弧度数为 。
【分析】利用扇形的弧长公式结合扇形的面积公式，从而建立扇形中心角的弧度数和圆的半径方程组，从而求出这个扇形中心角的弧度数。
15．【答案】1
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为，所以，
所以，所以的最大值为1。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和构造法以及不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象判断其单调性， 从而求出函数在给定区间的最大值。
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设的面积为，则，
水的体积，
当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，
则有，
故。
故答案为：6。
【分析】根据题意，当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设的面积为，则，再利用棱柱的体积公式得出水的体积，当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，则有，进而得出h的值，从而得出液面的高。
17．【答案】解：在中，由，，得，
所以.
又，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】利用已知条件结合三角形中角A的取值范围和同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正切值，再结合两角和的正切公式和二倍角的正切公式，进而得出 的值。
18．【答案】（1）解：根据题意，
.
解得 ．
所以样本中学生身高在内（单位：）的人数为
（2）解：设样本中男生身高的平均值为，则
．
估计该校男生的平均身高为．
（3）解：由，根据直方图，
因为
所以样本中的85%分位数落在内，
设85%分位数为，则，
解得.
所以估计该校男生身高的85%分位数为183 cm.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，进而得出a的值，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而得出样本中男生身高在（单位：cm）的人数。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而通过样本估计该校全体男生的平均身高。
（3）利用（1）求出的a的值，再结合分位数的求解方法，从而根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数。
19．【答案】（1）解：因为
所以
（2）解：由（1）可知，，因为，
所以，所以
因为，所以
所以，解得，
由余弦定理可得，
又因为，所以，即，
所以，
所以为等边三角形．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积的坐标表示，进而结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
（2） 由（1）可知，，再利用结合代入法得出，再利用三角形中角B的取值范围和构造法和不等式的基本性质，从而得出角B的值，再利用余弦定理结合，所以，再利用等边三角形的定义判断出三角形的形状。
20．【答案】（1）证明：如图，连结，设与的交点为O，连接．
因为四边形为矩形，
所以点O为的中点．
又点E为的中点，所以．
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：作于点H．
∵平面，平面，
∴
又∵为矩形，，
∴
由，可得．
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，故平面，
即的长就是点A到平面的距离．
因为，所以，
因此为与平面所成角，则．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连结，设与的交点为O，连接，利用四边形为矩形，所以点O为的中点，再利用点E为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 作于点H，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形为矩形，所以，再利用三棱锥的体积公式和，进而得出AB的长，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，即的长就是点A到平面的距离，再利用勾股定理得出PB的长，再结合对应边成比例得出AH的长，因此为与平面所成角，再结合正弦函数的定义得出的值。
21．【答案】（1）解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故
（2）解：记事件B为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故
【知识点】等可能事件的概率；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)结合题意由n次独立事件的概率公式，结合概率加法个数代入数值计算出结果即可。
(2)由已知条件结合概率乘法和加法公式，代入数值计算出结果即可。
22．【答案】解：设，
当时，，
∴，
∴，
∴两项费用之和为．
当且仅当时，即当时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】利用已知条件结合数学建模的方法得出两项费用之和关于x的关系式，再结合均值不等式求最值的方法得出应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元。
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