第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
总分：150分 时间：120分
选择题（每题5分，共40分）
1．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b
2．不等式﹣3x2+5x+2＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．
C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D．
3．已知正实数a，b满足2a+3b＝1，则的最小值为（ ）
A．15 B． C．16 D．
4．不等式＜2的解集为（ ）
A．{x|x≠﹣2} B．R C． D．{x|x＜﹣2或x＞2}
5．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地．用来展示校友的书画作品．靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（ ）米
A．20 B．40 C． D．
6．已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则cx2+bx+a＜0的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·福建）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全不选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）9．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．a2+b2≥2ab C． D．
（多选）10．若a＞b＞0，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）11．已知m＞0，n＞0，m+n＝2，则（ ）
A．mn≤1 B．mn≥1 C． D．m2+n2≥2
（多选）12．已知x＞0，y＞0，则使得x+y的最小值为4的条件是（ ）
A．xy＝4 B．（x﹣2）y＝1
C．x2+y2＝4 D．x2﹣5x﹣y+8＝0
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x（件）防护服的利润为y（千元），且y＝﹣x2+50x﹣600，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过 件．
14．已知正实数x，y满足x+2y+xy﹣7＝0，且3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则t的取值范围是 ．
15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝ ；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 ．
16．不等式（2+x）（1﹣x）＞0的解集为 ．
四．解答题（共7小题，共70分）
17．求下列不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）．
18．如图所示，某工厂为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流人，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数为y，且y＝，现有制箱材料46平方米．（注：制箱材料必须用完，A，B孔的面积忽略不计）
（1）写出正实数a，b满足的关系式；
（2）问当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最大？并求该最大值．
19．已知a＞0，b＞0，a+b＝1．
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意x∈R及条件中的任意a，b恒成立，求实数m的取值范围．
20．某汽车租赁公司有200辆小汽车．若每辆车一天的租金为300元，可全部租出；若将出租收费标准每天提高10x元（1≤x≤50，x∈N*），则租出的车辆会相应减少4x辆．
（1）求该汽车租赁公司每天的收入y（元）关于x的函数关系式；
（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元？
21．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；
（2）b为何值时，ax2+bx+1≥0的解集为R．
22．设函数f（x）＝ax2+（b﹣1）x+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若f（﹣1）＝5，且存在x∈R，使f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
23．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米.
求：（1）写出与的关系式；
（2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
总分：150分 时间：120分
选择题（每题5分，共40分）
1．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C．a＞b2 D．a2＞2b
【解答】解：对于A，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错
对于B，例如a＝2，b＝此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错
对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确
对于D，例如a＝ 此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错
故选：C．
2．不等式﹣3x2+5x+2＜0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．
C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） D．
【解答】解：不等式﹣3x2+5x+2＜0可化为3x2﹣5x﹣2＞0，
即（3x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣或x＞2，
所以该不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）．
故选：A．
3．已知正实数a，b满足2a+3b＝1，则的最小值为（ ）
A．15 B． C．16 D．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，2a+3b＝1，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为：．
故选：D．
4．不等式＜2的解集为（ ）
A．{x|x≠﹣2} B．R C． D．{x|x＜﹣2或x＞2}
【解答】解：因为x2+x+1＞0恒成立，
所以原不等式可化为x2﹣2x﹣2＜2（x2+x+1），
整理可得，x2+4x+4＞0，
解可得x≠﹣2即不等式的解集为{x|x≠﹣2}．
故选：A．
5．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地．用来展示校友的书画作品．靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（ ）米
A．20 B．40 C． D．
【解答】解：设矩形场地的长为x（x＞0）米，宽为y（y＞0）米，则xy＝200平方米，
可得y＝米，
∴围栏总长L＝x+2y＝x+，
当且仅当x＝，即x＝20，y＝10时上式取等号．
∴围栏总长最小需要40米．
故选：B．
6．已知a＞b＞c，2a+b+c＝0，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵a＞b＞c，2a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a﹣c，且a＞0，c＜0，
∵a＞b＞c，
∴﹣2a﹣c＜a，即3a＞﹣c，
解得：＞﹣3，
将b＝﹣2a﹣c，代入b＞c，可得：﹣2a﹣c＞c，可得：a＜﹣c，可得：＜﹣1，
∴﹣3＜＜﹣1．
故选：A．
7．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是，则cx2+bx+a＜0的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是，
所以﹣和2是方程ax2+bx+c＝0的两实数解，且a＜0；
由根与系数的关系知，，
解得c＝﹣a，b＝﹣a；
所以不等式cx2+bx+a＜0化为﹣ax2﹣ax+a＜0，
即为2x2+3x﹣2＜0，
解得﹣2＜x＜，
所以不等式的解集为（﹣2，）．
故选：D．
8．（2021·福建）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式，得或
解方程，得，
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
综上，可知的取值范围为
故选：B
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全不选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
（多选）9．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．a2+b2≥2ab C． D．
【解答】解：对于A，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但，故A错误，
对于B，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
故a2+b2≥2ab，故B正确，
对于C，∵ab＞0，
∴，，
∴，当且仅当 时，等号成立，故C正确，
对于D，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．若a＞b＞0，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：对于A，∵a＞b＞0，
∴，即，故A正确，
对于B，当a＞0，b＞0时，当且仅当a＝b时，等号成立，
∵a＞b＞0，
∴，故B正确，
对于C，∵a＞b＞0，
∴，
又∵a＞b，
∴由不等式的可加性可得，，故C正确，
对于D，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，但，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．已知m＞0，n＞0，m+n＝2，则（ ）
A．mn≤1 B．mn≥1 C． D．m2+n2≥2
【解答】解：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，
∴，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故A正确，B错误，
＝＝，当且仅当，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确，
4＝（m+n）2＝m2+n2+2mn≤m2+n2+m2+n2＝2（m2+n2），
即m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．已知x＞0，y＞0，则使得x+y的最小值为4的条件是（ ）
A．xy＝4 B．（x﹣2）y＝1
C．x2+y2＝4 D．x2﹣5x﹣y+8＝0
【解答】解：对于A：4＝xy≤（）2，解得x+y≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故A符合；
对于B：（x﹣2）y＝1，则x＞2，
∴1＝（x﹣2）y≤（）2，即（x+y﹣2）2≥4，即x+y﹣2≥2，可得x+y≥4，当且仅当x＝3，y＝1时取等号，故B符合；
对于C：∵4＝x2+y2，则8＝2x2+2y2≥（x+y）2，则x+y≤2，当且仅当x＝y＝时取等号，故C不符合；
对于D：∵x2﹣5x﹣y+8＝0，∴x+y＝x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4≥4，当且仅当x＝2时取等号，故D符合．
故选：ABD．
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x（件）防护服的利润为y（千元），且y＝﹣x2+50x﹣600，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过 件．
【解答】解：∵该公司每天生产x（件）防护服的利润为y（千元），且y＝﹣x2+50x﹣600，要使该公司每天不亏本，
∴﹣x2+50x﹣600≥0，即x2﹣50x+600≤0，解得20≤x≤30，
故每天生产的防护服数量最多不能超过30件．
故答案为：30．
14．已知正实数x，y满足x+2y+xy﹣7＝0，且3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则t的取值范围是 ．
【解答】解：由x+2y+xy﹣7＝0，得（x+2）y＝7﹣x，x＞0，y＞0，
所以y＝＝﹣1+，
所以x+y＝x+﹣1＝x+2+﹣3﹣3＝3，
当且仅当x+2＝，即x＝1时取等号，
所以xy﹣x＝7﹣2（x+y）≤7﹣2×3＝1，
又3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则3t2﹣2t≥（xy﹣x）max＝1，
解得，t≥1或t，
t的范围为{t|t≥1或t}．
故答案为：{t|t≥1或t}．
15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝ ；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 ．
【解答】解：因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），
所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，
所以，
解得b＝﹣12，c＝10，
所以f（x）＝2x2﹣12x+10．
对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，
即t≥2x2﹣12x+8对于x∈[1，2]有解，
设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈[1，2]，
则g（x）在[1，2]内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，
所以实数t的取值范围是[﹣8，+∞）．
故答案为：2x2﹣12x+10；[﹣8，+∞）．
16．不等式（2+x）（1﹣x）＞0的解集为 ．
【解答】解：由（2+x）（1﹣x）＞0得（x+2）（x﹣1）＜0，
解得﹣2＜x＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
四．解答题（共7小题，共70分）
17．求下列不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）．
【解答】解：（1）﹣x2+4x+5＜0，即x2﹣4x﹣5＞0，
即（x﹣5）（x+1）＞0，
解得x＜﹣1或x＞5，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞），
（2）由可得（2x﹣1）（3x+1）＞0，
即（x﹣）（x+）＞0，
解得x＜﹣或x＞，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
18．如图所示，某工厂为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流人，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数为y，且y＝，现有制箱材料46平方米．（注：制箱材料必须用完，A，B孔的面积忽略不计）
（1）写出正实数a，b满足的关系式；
（2）问当a，b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最大？并求该最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，2ab+2a+4b＝46，即ab+a+2b＝23．
（2）∵ab+a+2b＝（a+2）（b+1）﹣2，
∴（a+2）（b+1）＝25，
∵a+2＞0，b+1＞0，
∴a+b＝（a＝2）+（b+1）﹣3≥＝＝7，
当且仅当a+2＝b+1时，等号成立，此时a＝3，b＝4，
故当a＝3，b＝4时，a+b取得最小值7，此时质量分数取得最大值．
19．已知a＞0，b＞0，a+b＝1．
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意x∈R及条件中的任意a，b恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）（+）2＝a+1+b+1+2
≤a+b+2+a+b+2＝6，当且仅当a＝b＝时取得等号，
所以+的最大值为；
（2）+＝（a+b）（+）
＝2++≥2+2＝4，当且仅当a＝b时取得等号，
所以+的最小值为4，又|x+m|﹣|x+1|≤|m﹣1|，
所以不等式对任意x∈R及条件中的任意a，b恒成立，
只需|m﹣1|≤4即可，解得﹣3≤m≤5，
即m的取值范围为[﹣3，5]．
20．某汽车租赁公司有200辆小汽车．若每辆车一天的租金为300元，可全部租出；若将出租收费标准每天提高10x元（1≤x≤50，x∈N*），则租出的车辆会相应减少4x辆．
（1）求该汽车租赁公司每天的收入y（元）关于x的函数关系式；
（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得每辆车一天的租金为（300+10x）元，
租出的车辆为（200﹣4x）辆，
故该汽车租赁公司每天的收入y＝（300+10x）（200﹣4x）＝﹣40x2+800x+60000（1≤x≤50，x∈N*）；
（2）由题意可得﹣40x2+800x+60000＞63840，即x2﹣20x+96＜0，
解得8＜x＜12，
因为x∈N*，所以x＝9或x＝10或x＝11，则300+10x＝390或400或410，
故每辆汽车的出租价格可定在为390元或400元或410元．
21．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；
（2）b为何值时，ax2+bx+1≥0的解集为R．
【解答】解：（1）不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的实数解，
所以﹣3+1＝，解得a＝3；
所以不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0化为2x2﹣x﹣3＞0，
即（x+1）（2x﹣3）＞0，
解得x＜﹣1或x＞；
所以所求不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．
（2）由（1）知不等式ax2+bx+1≥0为3x2+bx+1≥0，
令Δ＝b2﹣4×3×1≤0，
解得﹣2≤b≤2；
所以b的取值范围是[﹣2，2]．
22．设函数f（x）＝ax2+（b﹣1）x+2．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若f（﹣1）＝5，且存在x∈R，使f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（1，2）可得，
x＝1，x＝2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个根，
∴﹣3＝且2＝，
∴；
（2）由f（﹣1）＝5得，a﹣（b﹣1）+2＝5，
∴a＝b+2，
∴f（x）＝ax2+（a﹣3）x+2，
当a＝0时，f（x）＝﹣3x+2，存在x使得f（x）＜1；
当a＜0时，f（x）是一个开口向下的二次函数，一定存在x使得f（x）＜1；
当a＞0时，f（x）是一个开口向上的二次函数，要存在x使得f（x）＜1则，
f（x）min＝f（﹣）＝a×（﹣）2+（a﹣3）（﹣+2＝﹣＝﹣（）+＜1，
∴a2﹣10a+9＞0，
∴a＞9或a＜1，
综上可知，当a＜1，或a＞9时，存在实数x使得f（x）＜1成立．
23．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米.
求：（1）写出与的关系式；
（2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【答案】（1）；（2）面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.
【解析】（1）由于铁栅长为米，一堵砖墙长为米，由题意可得，
即，解得，
由于且，可得，
所以，与的关系式为；
（2），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，仓库面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.
