第二单元 期中备考能力提升卷
选择题（本题共5小题）
1．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定
2．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．a2＞b2
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝﹣a+b2，则不等式x⊙（x﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（0，2） B．（1，4）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，4）
4．已知a＜0，关于x的一元二次不等式ax2﹣（2+a）x+2＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜或x＞1} B．{x|＜x＜1} C．{x|x＜1或x＞} D．{x|1＜x＜}
5．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为（ ）
A．5≤V≤40 B．10≤V≤40 C．5＜V＜40 D．10＜V＜40
多项选择（本题共6小题）
（多选）6．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
（多选）7．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
（多选）8．下列命题中的假命题是（ ）
A． x∈R，x2+|x|≥0 B． x∈N*，（x﹣1）2＞0
C． x∈R，x2+x+1＝0 D． x∈R，
（多选）9．下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（ ）
A． x∈R，
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2+2x+2≤0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
（多选）10．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（ ）
A．a﹣b≤1 B．的最大值为
C． D．
（多选）11．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的值可以为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
填空题（本题共1小题）
12．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是 ．
解答题
13．已知x、y∈R+，且x+y＝1，求证：
（1）xy≤； （2）（1+）（1+）≥9．
14．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（x≥0，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
（1）求k的值，并写出函数y＝f（x）的表达式：
（2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．
15．南康某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤4）万元满足．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，其中a为实常数．
（1）a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥x﹣2对任意实数x恒成立，求a的取值范围．
17．已知二次函数f（x）＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a＞0，当x∈[0，+∞）时，求函数f（x）的值域．
18．一个服装厂生产风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）之间的关系式为p＝160﹣2x，生产x件风衣的成本R＝500+30x（元）．
（1）该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？第二单元 期中备考能力提升卷
选择题（本题共5小题）
1．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定
【解答】解：M﹣N＝a1a2﹣（a1+a2﹣1）＝（a1﹣1）（a2﹣1），
∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，
∴a1﹣1＜0，a2﹣1＜0，
∴（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，
∴M＞N，
故选：B．
2．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．a2＞b2
【解答】解：A，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则＞，∴A错误，
B，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则ab＜a2，∴B错误，
C，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则|a|＞|b|，∴C错误，
D，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，∴a2＞b2，∴D正确，
故选：D．
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝﹣a+b2，则不等式x⊙（x﹣2）＜0的解集为（ ）
A．（0，2） B．（1，4）
C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣1，4）
【解答】解：由题意可得不等式x⊙（x﹣2）＜0，即﹣x+（x﹣2）2＜0，即 （x﹣4）（x﹣1）＜0，
求得1＜x＜4，
故选：B．
4．已知a＜0，关于x的一元二次不等式ax2﹣（2+a）x+2＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜或x＞1} B．{x|＜x＜1} C．{x|x＜1或x＞} D．{x|1＜x＜}
【解答】解：∵a＜0，
∴ax2﹣（2+a）x+2＞0，等价于（ax﹣2）（x﹣1）＞0，即（x﹣）（x﹣1）＜0，
解得＜x＜1，
故不等式的解集为{x|＜x＜1}，
故选：B．
5．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为（ ）
A．5≤V≤40 B．10≤V≤40 C．5＜V＜40 D．10＜V＜40
【解答】解：第一次操作后，剩下的纯药液为V﹣10，
第二次操作后，剩下的纯药液为V﹣10﹣，
因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，
所以V﹣10﹣≤V×60%，
解得5≤V≤40，
又V＞10，
所以V的取值范围为（10，40]．
故选：D．
多项选择（本题共6小题）
（多选）6．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax﹣1＝0}，A∩B＝B，
∴B A，当a＝0时，B＝ ，当a≠0时，B＝{}，
∴B＝ 或B＝{3}或B＝{5}，
∴不存在，或＝3，或＝5．
解得a＝0或a＝，或a＝．
∴实数a的值可以为0，，．
故选：ABD．
（多选）7．设A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，
B＝{x|ax+1＝0}，A∩B＝B，
∴B A，
当B＝ 时，a＝0；
当B≠ 时，B＝{﹣}，则﹣＝3或﹣＝5，
解得a＝﹣或a＝﹣，
∴实数a的值可以为0，﹣，﹣．
故选：ABD．
（多选）8．下列命题中的假命题是（ ）
A． x∈R，x2+|x|≥0 B． x∈N*，（x﹣1）2＞0
C． x∈R，x2+x+1＝0 D． x∈R，
【解答】解： x∈R，x2+|x|≥0，显然是真命题；
x∈N*，（x﹣1）2＞0，x＝1时，表达式为0，所以B不正确；是假命题；
x∈R，x2+x+1＝0，因为Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0恒成立，所以C是假命题；
x∈R，，当x＝﹣1时成立，所以D是真命题；
故选：BC．
（多选）9．下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（ ）
A． x∈R，
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2+2x+2≤0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
【解答】解：∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除，
A是特称命题，其否定为： x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0为真命题，
C是特称命题，其否定为： x∈R，x2+2x+2＞0，即（x+1）2+1＞0为真命题，
D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题，
故选：AC．
（多选）10．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（ ）
A．a﹣b≤1 B．的最大值为
C． D．
【解答】解：∵a，b＞0，a+b2＝1，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，
∴a﹣b＜1，
故a﹣b≤1成立，即选项A正确；
∵a＝1﹣b2，
∴b＝≤＝，
当且仅当b＝，a＝时，等号成立，
故b的最大值为，
故选项B正确；
∵≤＝，
∴+b≤，
当且仅当b＝，a＝时，等号成立，
故选项C错误；
∵（a+b）2≥4ab，
∴a+b≥＝，
∴+＝+≥，
当且仅当b＝时，等号成立，
∵0＜b＜1，∴1﹣b2+b＝﹣（b﹣1）2+≤，
当且仅当b＝时，等号成立，
故+≥≥＝，
∵两次取等号的条件不一致，
∴+＞，
故选项D正确；
故选：ABD．
（多选）11．某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的值可以为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【解答】解：记每小时的油耗为y，则根据题意有，
则当x＝120时，，解得k＝100，
所以，
当y 9时，即，解得45 x 100，
又因为60 x 120，则x的取值范围为[60，100]．
故选：ABC．
填空题（本题共1小题）
12．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】{a|a≤﹣2}
【解答】解：关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≥0在{x|1≤x≤4}内有解，
等价于在{x|1≤x≤4}内，a≤（x2﹣4x﹣2）max，
当1≤x≤4时，x2﹣4x﹣2的最大值为﹣2，
所以实数a的取值范围是{a|a≤﹣2}．
故答案为：{a|a≤﹣2}．
解答题
13．已知x、y∈R+，且x+y＝1，求证：
（1）xy≤；
（2）（1+）（1+）≥9．
【解答】证明：（1）证明：因为xy∈R+，且x+y＝1，所以，
当且仅当时取等号，所以；
（2）∵x＞0，y＞0，x+y＝1，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴，即得证．
14．某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（x≥0，k为常数）万元．记y为该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
（1）求k的值，并写出函数y＝f（x）的表达式：
（2）求y的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x．
【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，，解得k＝800，
则该公司10年的燃料费与安装太阳能板的费用之和为10＝，
所以k＝800，函数的表达式为y＝f（x）＝；
（2）由（1）可知，x≥0时，y＝＝
＝40﹣2＝38，
当且仅当，即x＝36时取等号，此时取得最小值，
所以y的最小值为38万元，此时所安装的太阳能板的面积为36平方米．
15．南康某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤4）万元满足．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
【解答】解：（1）由题意可得，每件产品的销售价格为，
则y＝ m﹣（8+16m+x）＝8+16m﹣x＝8+﹣x＝，x∈[0，4]．
（2）y＝＝57﹣57﹣，当且仅当，即x＝3时，等号成立，
故该服装厂2021年的促销费用投入3万元时，利润最大．
16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，其中a为实常数．
（1）a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥x﹣2对任意实数x恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，
∴不等式f（x）＜0的解集为 ；
（2）∵不等式f（x）≥x﹣2对任意实数x恒成立 x2﹣（a+2）x+a+2≥0对任意实数x恒成立，
∴Δ＝（a+2）2﹣4（a+2）≤0，
解得：﹣2≤a≤2，
∴a的取值范围为[﹣2，2]．
17．已知二次函数f（x）＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a＞0，当x∈[0，+∞）时，求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，
∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两个实数根，且a＜0，
∴，解得，
∴实数a，b的值分别为﹣1，2；
（2）当b＝0，a＞0时，f（x）＝ax2+2x﹣a+2，函数图象开口向上，对称轴为x＝﹣＜0，
所以f（x）在[0，+∞）单调递增，故f（x）min＝f（0）＝2﹣a，
所以f（x）的值域为[2﹣a，+∞）．
18．一个服装厂生产风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）之间的关系式为p＝160﹣2x，生产x件风衣的成本R＝500+30x（元）．
（1）该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设该厂的月获利为y，由题意得，
y＝（160﹣2x）x﹣（500+30x）＝﹣2x2+130x﹣500，
由y≥1300得，
﹣2x2+130x﹣500≥1300，
∴x2﹣65x+900≤0，
∴（x﹣20）（x﹣45）≤0，解得20≤x≤45；
∴当月产量在20～45件之间时，月获利不少于1300元．
（2）由（1）知y＝﹣2x2+130x﹣500＝﹣2（x﹣）2+1612.5
∵x为正整数，
∴x＝32或33时，
y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元．
