8.6.1直线与直线的垂直 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
高一数学第二册第八章：
立体几何初步
空间点、线、面之间的位置关系
8.6.1直线与直线的垂直
一、学习目标
理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.
二、问题导学
1.异面直线
(1)定义：不同在 的两条直线.
(2)画法：
任何一个平面内
2.两条直线的位置关系
一个
没有
3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线 .
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b .
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
②作用：证明两个角相等或互补.
平行
a∥c
相等或互补
一.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
三、点拨精讲
二、异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间 一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的 (或 ).
2.范围： .特别地，当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 .
任意
锐角
直角
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)
2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.(　　)
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.(　　)
√
×
×
√
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
题型一、求异面直线所成的角
(1)BE与CG所成的角；
解　∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟
求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝ ，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
解　连接AC(图略).
∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)求直线AE和BG所成的角.
解　∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
题型二、直线与直线垂直
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
证明　如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.
反思感悟
跟踪训练2　如图在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.
求证：BE⊥AC′.
证明　取CC′的中点F，连EF，BF，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
四、课堂小结
1.知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
五、当堂检测
1.垂直于同一条直线的两条直线一定
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
√
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是
A.SB B.SC C.BC D.AB
√
3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
√
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.
60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，
所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
又∠GEF＝120°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_______.
60°
解析　连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.