高中数学北师大版（2019）必修 第一册第五章 函数的应用：1.1利用函数性质判定方程解的存在 提升训练（含解析）

利用函数性质判定方程解的存在
基础过关练
题组一　确定函数零点及零点个数
1.下列图像表示的函数中没有零点的是 (　　)
2.(2020安徽芜湖普通高中高一上联考)函数f(x)=的零点是 (　　)
A.0 B.-
C.(0,0) D.
3.已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则 (　　)
A.a+b=1 B.a+b=3m
C.ab=1 D.b=am
4.对于函数f(x),若f(-1)·f(3)<0,则 (　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
5.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点 (　　)
A.至多有一个
B.有一个或两个
C.有且仅有一个
D.一个也没有
6.若是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点为　　　　.
7.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
(4)f(x)=.
8.判断函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数.
题组二　确定函数零点的范围
9.(2021陕西宝鸡金台高一上联考)下列区间包含函数f(x)=x+log2x-5零点的是 (　　)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
10.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是 (　　)
A.a<αC.α11.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是 (　　)
A.a<1C.112.设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.
13.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
题组三　由函数零点确定参数的值或范围
14.(2021福建泉州高一上联考)已知函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则实数a的取值范围为(　　)
A.-1C.-2≤a<0 D.-2≤a≤0
15.(2020安徽名校高一上联考)已知函数f(x)=log2x+x-3在区间(a,a+1)内有零点,则正数a的取值范围为 (　　)
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
16.已知函数f(x)=且函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,+∞) B.[-1,0)
C.[-1,+∞) D.[-2,+∞)
17.函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.
18.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点;
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
19.已知二次函数f(x)满足 f(0)=3,f(x+1)=f(x)+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m的取值范围.
20.已知函数f(x)=x2-3mx+n(m>0)的两个零点分别为1和2.
(1)求m、n的值;
(2)若不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,求k的取值范围;
(3)令g(x)=,若函数F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零点,求实数r的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(2021河南新乡高一上联考)函数f(x)=ex+2x-5的零点所在的区间是 (　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(0,1) D.(1,2)
2.方程x+log3x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,则n等于 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.函数f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0A.B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C. D.
4.(2020广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+a,若g(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-1,0) B.[-1,0) C.(0,1) D.(0,1]
5.对于定义域为R的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)的图像在(-∞,x0)和(x0,+∞)上与x轴都有交点,则称x0为函数f(x)的一个“界点”.下列四个函数中,不存在“界点”的是 (　　)
A.f(x)=x3
B.f(x)=x2+bx-2(b∈R)
C.f(x)=1-|x-2|
D.f(x)=2x-x2
6.函数f(x)=(x2-1)的零点个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若幂函数f(x)的图像过点(3,),则函数y=f(x)+2-x的零点为　 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是 (　　)
A.-2 B.0 C.1 D.3
9.已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则x1+x2+x3的取值范围是 (　　)
A.(-2,0] B.(-1,0)
C.(-1,0] D.(-2,0)
二、填空题
10.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.
11.函数f(x)=的零点的个数是　　　　.
12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x. 若关于x 的方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是　　　　.
13.定义域为R的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=若关于x的方程f(x)-a=0(0三、解答题
14.定义在[0,2]上的函数f(x)=x2-2ax+1.
(1)若f(x)的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)若f(x)在其定义域上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
15.已知函数f(x)=x|x-a|+bx.
(1)若a=3,且f(x)是R上的增函数,求实数b的取值范围;
(2)若b=-1,且对任意a∈(-1,2),关于x的方程f(x)=tf(a)总有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.
参考答案：
基础过关练
1.A 2.A 3.C 4.D 5.C
9.C 10.C 11.A 14.B 15.A
16.C
1.A　除A选项外,其他选项的函数图像均与x轴有交点,即有零点,故选A.
2.A　由f(x)=0,得=0,解得x=0,
∴函数f(x)的零点是0.
3.C　∵函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,∴a≠b且f(a)=f(b).
∵f(x)=|log3x|,∴log3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0,∴ab=1,故选C.
4.D　因为函数f(x)的图像在(-1,3)上未必连续,所以尽管f(-1)·f(3)<0,但函数y=f(x)在(-1,3)上未必有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
5.C　若a=0,则b≠0,f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,若f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故选C.
6.答案　1
解析　由f=2×-a+3=0得a=5,则f(x)=2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.
7.解析　(1)存在.
令f(x)=0,即x2+7x+6=0,
解得x=-1或x=-6,
所以函数的零点是-1,-6.
(2)存在.
令f(x)=0,即1-log2(x+3)=0,
解得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)存在.
令f(x)=0,即2x-1-3=0,
解得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)存在.
令f(x)=0,即=0,解得x=-6或x=2(舍去),所以函数的零点为-6.
8.解析　解法一:令lnx+x2-3=0,则lnx=3-x2,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3-x2的图像交点的个数.
在同一平面直角坐标系中,作出两函数的图像(如图).
由图像知,函数y=3-x2与y=lnx的图像只有一个交点,从而lnx+x2-3=0只有一个根,
即函数f(x)=lnx+x2-3有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln1+12-3=-2<0,
f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=lnx+x2-3的图像在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴函数的零点有且只有一个.
9.C　f(1)=1+log21-5=-4<0,f(2)=2+log22-5=-2<0,f(3)=3+log23-5=log2<0,f(4)=4+log24-5=1>0,
f(5)=5+log25-5=log25>0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,并且是连续函数,∴函数f(x)在区间(3,4)上存在零点.故选C.
10.C　由题意得,f(a)=f(b)<0,而f(α)=f(β)=0,借助图像(图略)可知,a,b,α,β的大小关系有可能是α11.A　令f(x)=0,即ex+x-2=0,则ex=2-x.
令g(x)=0,即lnx+x-2=0,则lnx=2-x,设y1=ex,y2=lnx,y3=2-x.
在同一平面直角坐标系中作出函数y1=ex,y2=lnx,y3=2-x的图像,如图所示:
∵函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,
∴y1=ex与y3=2-x图像的交点的横坐标为a,y2=lnx与y3=2-x图像的交点的横坐标为b,
由图像知a<112.答案　2
解析　令f(x)=lnx+x-4,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,
f(x)=lnx+x-4的图像是连续曲线,
∴f(x)在(2,3)内有零点,∴k=2.
13.证明　由Δ=69>0,得方程有两个不相等的实数根.
设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.
∵f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的图像在R上是连续不断的,
∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,
即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
14.B　∵函数f(x)的图像的对称轴为直线x=-<0,且f(0)=a<0,∴要使函数f(x)=x2+x+a(a<0)在区间(0,1)上有零点,则需使f(1)=2+a>0,即a>-2,∴-215.A　由题得f(2)=log22+2-3=0,且函数f(x)在定义域内单调递增,
所以a<216.C　作出函数f(x)和y=x的大致图像如图.
可知点A(-1,1+a),点C(0,1+a)在函数图像上,而点B(0,a)不在函数图像上.结合图像可知,当a≥-1时,函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点.故选C.
17.答案　
解析　易知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增,
又∵函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,且f(x)的图像是连续曲线,
∴f(1)=+a<0,∴a<-.
18.解析　(1)函数有两个零点、一个零点、无零点,对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、无实数根.
由Δ>0,即4+12(1-m)>0,可得m<;
由Δ=0,可得m=;
由Δ<0,可得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知0是对应方程的根,故有1-m=0,解得m=1.
19.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.
∵f(x+1)=f(x)+2x,
∴解得
∴f(x)=x2-x+3.
(2)由(1)得g(x)=x2-|x|+3+m(m∈R),
由于函数g(x)有4个零点,因此函数g(x)的图像与x轴有4个交点.
在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图像,如图所示:
由图像,得
解得-3即实数m的取值范围是.
20.解析　(1)由函数f(x)=x2-3mx+n(m>0)的两个零点分别为1和2,
可得解得
(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2,
由不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,可得不等式f(x)>k在x∈[0,5]上恒成立.
因为f(x)=x2-3x+2=-,
所以f(x)=x2-3x+2在x∈[0,5]上的最小值为f=-,所以k<-.
(3)由(1)得g(x)==x+-3.
因为函数F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零点,
所以g(2x)-r·2x=0在x∈[-1,1]上有解,即r=1+2·-3·在x∈[-1,1]上有解,
令t=,则r=2t2-3t+1.
因为x∈[-1,1],所以t∈,
所以r=2t2-3t+1在t∈上有解,
由r=2t2-3t+1=2-≤t≤2,得-≤r≤3,
所以实数r的取值范围是.
能力提升练
1.D 2.C 3.A 4.B 5.A
6.B 7.D 8.A 9.C
一、选择题
1.D　易知f(x)=ex+2x-5是R上的增函数,且f(1)=e-3<0,f(2)=e2-1>0,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选D.
2.C　设f(x)=x+log3x-3,则f(1)=1+log31-3=-2<0,f(2)=2+log32-3=log32-1<0,f(3)=3+log33-3=1>0,又易知f(x)为单调函数,且其图像是连续曲线,∴方程x+log3x=3的解在(2,3)内,因此n=2.故选C.
3.A　依题意得

解得-4.B　依题意,函数y=f(x)的图像与直线y=-a有2个交点,
作出函数图像如图所示,
由图可知,要使函数y=f(x)的图像与直线y=-a有2个交点,则0<-a≤1,即-1≤a<0.
思想方法
本题考查的是有关已知函数零点个数求参数的取值范围问题,在求解的过程中,将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应结果.
5.A　f(x)=x3的图像与x轴只有一个交点,因此不存在“界点”,A符合题意;在f(x)=x2+bx-2(b∈R)中,Δ=b2+8>0,图像与x轴有两个不同的交点,故存在“界点”,B不符合题意;在f(x)=1-|x-2|中,令f(x)=0得|x-2|=1,解得x=1或x=3,故存在“界点”,C不符合题意;在函数f(x)=2x-x2中,f(2)=f(4)=0,因此存在“界点”,D不符合题意.故选A.
6.B　要使函数有意义,则x2-4≥0,即x2≥4,解得x≥2或x≤-2.
由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立,舍去),解得x=2或x=-2,
∴函数f(x)的零点个数为2.故选B.
7.D　设幂函数f(x)=xα,由函数f(x)的图像过点(3,),得3α=,即α=,∴f(x)=,∴y=f(x)+2-x=+2-x.令+2-x=0,得=2或=-1(舍去),∴x=4.故选D.
8.A　函数f(x)=x+(a∈R)的图像在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合,故选A.
9.C　f(x)的图像如图所示,不妨设x1由图像知,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则
x1+x2=-2,f(x3)=a(0由0即1∴-1二、填空题
10.答案　(1,+∞)
解析　函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图像的交点的个数,如图①,当a>1时,两函数图像有两个交点;如图②,当01.
11.答案　4
解析　当x≤0时,f(x)=0 |x+2|-1=0 |x+2|=1,解得x=-3或x=-1,此时f(x)有2个零点.
在同一平面直角坐标系中作出y=lnx与y=x2-2x的图像,如图所示,
由图像知,当x>0时,f(x)有2个零点.
综上所述,f(x)的零点的个数为4.
12.答案　(-1,0)
解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,
所以函数f(x)的图像关于y轴对称.
作出函数f(x)的图像,如图所示:
若方程f(x)-m=0有四个不同的实数解,则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点,
由图像可知:当-1故实数m的取值范围是(-1,0).
13.答案　
解析　依题意作出函数f(x)的图像如图所示.
由图像知,f(x)-a=0有5个实数解,5个实数解从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x2=-6,x4+x5=6,因此x1+x2+x3+x4+x5=x3∈(-1,0),∴x3=1-,因此a=f(1-)=-f(-1)=-lo(-1+1)=.
三、解答题
14.解析　(1)由已知得f(x)=(x-a)2+1-a2.
①当a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,g(a)=f(x)min=f(0)=1;
②当0③当a≥2时,f(x)在[0,2]上单调递减,
g(a)=f(x)min=f(2)=5-4a.
∴g(a)=
(2)∵f(x)在其定义域[0,2]上有两个不同的零点,
∴
解得1∴实数a的取值范围是.
15.解析　(1)当a=3时,f(x)=x|x-3|+bx=
∵f(x)是连续函数,且f(x)在R上递增,
∴∴b≥3.
(2)当b=-1时,由已知可得f(x)=x|x-a|-x=tf(a)=-at.
①当②当<≤a,即1≤a<2时,作出f(x)的图像(图略),要使方程总有三个不相等的实数根,应有f(a)<-at综上所述,t∈(0,1).