贵州省贵阳市2023届高三上学期理数8月摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·贵阳开学考）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，故即中元素的个数为3，
故答案为：B.
【分析】 求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案.
2．（2022高三上·贵阳开学考）复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，的虚部为.
故答案为：D.
【分析】 根据复数的除法运算法则，可得，从而得复数的虚部 .
3．（2022高三上·贵阳开学考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知几何体是一个棱长为的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，如图所示，
几何体体积.
故答案为：A.
【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用正方体和圆锥的体积公式求出答案.
4．（2022高三上·贵阳开学考）若实数，满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由实数，满足不等式组，作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值．
由，解答，即
．
故答案为：C．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
5．（2022高三上·贵阳开学考）已知命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，为存在量词命题，
其否定为，；
故答案为：D
【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题得出答案.
6．（2022高三上·贵阳开学考）“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（ ）
A．20米 B．25米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：依题意，，
设，在、中，，，所以，，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以云楼的高度为25米；
故答案为：B
【分析】设，由锐角三角函数得到，，再在△ABD中利用余弦定理求出x，即可求解出答案.
7．（2022高三上·贵阳开学考）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以是奇函数，故排除BD，
又，则，故排除A，
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析函数的定义域和奇偶性，排除D、B；求出f (π)的值，排除A，即可得答案.
8．（2022高三上·贵阳开学考）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，，
当时，
当时，所以，即，所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：A
【分析】 利用递推式推出是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式，计算可得答案.
9．（2022高三上·贵阳开学考）贵安新区是中国第八个国家级新区，位于贵州省贵阳市和安顺市结合部，是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区，同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区．“贵安”拼音的大写形式为“GUIAN”，现从这5个字母中任选2个，则取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：依题意从中任取2个字母所有可能结果为、、、、
、、、、、共10个基本事件，
其中满足恰有1个字母为轴对称图形的有、、、、、共6个基本事件，
所以取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率；
故答案为：B
【分析】从G， U， I， A， N5个字母中任取2个字母，利用列举法能求出基本事件总数的个数，再从基本事件中选出2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的事件个数，根据古典概型的概率计算公式，即可得出答案.
10．（2022高三上·贵阳开学考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，故，
故，
因为，故，所以，
所以即，
故，
故答案为：D.
【分析】 根据三角函数的倍角公式，得到，即可得到答案.
11．（2022高三上·贵阳开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】，，，，
在以为直径的圆上，圆心分别为的中点，如图所示，
由椭圆方程知：，，
，，
，，
当四点共线时，取得最大值.
故答案为：A.
【分析】 求得椭圆的a， b，c，由椭圆的定义和向量垂直的条件，结合圆的性质和三角形的中位线定理，以及四点共线的性质，可求得 的最大值 .
12．（2022高三上·贵阳开学考）设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】为奇函数，图像关于点对称，
由得：，则方程的根即为与直线的交点，
作出图像如图所示，
①当，即时，如图中所示时，与直线有5个交点，
与均关于对称，；
②当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
③当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
④当时，如图中所示时，与直线有3个交点，
与均关于对称，；
⑤当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.
综上所述：取值的集合为.
故答案为：C.
【分析】先根据题意可作出f (x)在[0， +∞)上的草图，再将方程 的根转化成数y= f(x)与直线y=kx + 1交点的横坐标，接着数形结合，分类讨论即可求出的值，从而求解出答案.
二、填空题
13．（2022高三上·贵阳开学考）二项展开式中项的系数是 ．
【答案】40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为：，
当时，的系数为.
故答案为：40.
【分析】 结合二项式展开式的通项公式，求解即可得 项的系数 .
14．（2022高三上·贵阳开学考）已知平面向量，，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，所以.
所以，所以.
故答案为：
【分析】 由已知利用向量共线的坐标运算求得k，再由向量的坐标加法运算及向量模的计算公式求解出答案.
15．（2022高三上·贵阳开学考）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．
【答案】1600π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为20，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：1600π
【分析】 根据正方体的性质及球的定义可求石凳所对应几何体的外接球的半径，从而可求其几何体的外接球的表面积 .
16．（2022高三上·贵阳开学考）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，
由得：；由得：，
阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，即，
，即，
，解得：，.
故答案为：.
【分析】由题意知，求解出x，阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，得，即可求出双曲线的离心率.
三、解答题
17．（2022高三上·贵阳开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，_________，求△ABC的周长．
在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故即.
而为三角形内角，故.
（2）解：若选①，因为，故外接圆直径即.
而，故，
而，
故即，
故三角形的周长为.
若选②，因为三角形面积为，故即.
而，
故即，
故三角形的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)正弦定理得 ，可得 ，从而可求出B的值；
(2)若选①，由正弦定理可得ac=4，结合余弦定理可得 的值；若选②，由三角表面积公式可得ac= 4，结合余弦定理可得的值，即可得 △ABC的周长．
18．（2022高三上·贵阳开学考）2022年2月4日—2月20日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
非冬奥迷 冬奥迷 合计
岁及以下 40 60 100
岁以上 80 20 100
合计 120 80 200
参考公式：，其中．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.027 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？
（2）现从抽取的50岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后，再从这5人中随机选出2人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：由列联表可得：，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关.
（2）解：由题意知：“非冬奥迷”应抽取人；“冬奥迷”应抽取人；
则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
0 1 2
则数学期望.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由 列联表计算可得 ，由此可得结论；
(2)根据分层抽样原则可确定“非冬奥迷”与“冬奥迷”应抽取的人数，由此可确定X所有可能的取值，利用超几何概型概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得X的分布列，根据数学期望公式计算可得数学期望．
19．（2022高三上·贵阳开学考）如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角．
【答案】（1）证明：三棱柱为直三棱柱，平面，，
为中点，，
平面，平面，，
平面，，平面，
又平面，.
（2）解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
，平面平面，
即平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知可证 ， 进而可证 平面， 可证得 ；
(2) 以为坐标原点，正方向为轴，可建立空间直角坐标系， 求得两平面的法向量，可求出平面与平面的夹角．
20．（2022高三上·贵阳开学考）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
【答案】（1）解：由题意，设抛物线C的方程为，
因为直线经过，即抛物线C的焦点，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设 ，联立方程组，整理得，
因为，且，，，
所以，
由，可得，则，
所以抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为4.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先设出物线C的方程为 ，再通过直线 经过抛物线C的焦点，建立方程即可求解出抛物线C的方程；
(2)联立直线与抛物线方程，设而不求，利用导数的几何意义求出两交点出的切线方程，然后再求出两切线的交点P，接着再建立△ABP面积关于m的函数，最后通过函数思想即可求解出 △ABP面积的最小值．
21．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，设是的两个极值点，求证；．
【答案】（1）解：当时，，
则的定义域为，；
的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）证明：由题意得：，
是的两个极值点，，；
，
；
令，则，
在上单调递增，，即；
设，，，
即，
，，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】(1)对函数求导，判断导数的符号可证f' (x)≤0，由此可得f (x)的减区间，无递增区间；
(2)分析条件可知，要想证明结论只需证： ， 利用分析法和导数进行分析证明即可.
22．（2022高三上·贵阳开学考）在直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C交于两点，点，求的值.
【答案】（1）解：直线l的参数方程是(t为参数)，转换为普通方程为.
曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
（2）解：把直线l的参数方程是(t为参数)，代入，
得到，
所以，
所以.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出 的值.
23．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：当时，
由，则或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
（2）解：因为，当且仅当时取等号，
又恒成立，所以恒成立，解得，即.
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1) 当时 ，f(x)=|x+1|-|x-1|，利用分类讨论，可得不等式的解集；
(2)若不等式f(x)≥8对任意实数x恒成立，即f (x)的最小值不小于8，利用绝对值三角不等式求出最值，可得实数m的取值范围．
24．（2022高三上·贵阳开学考）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得：，解得：，
（2）证明：由（1）得：，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a1，d，由等差数列通项公式可求得数列的通项公式；
(2)由(1)可得bn，采用裂项相消法可求得 ，由此可证得 ．
1 / 1贵州省贵阳市2023届高三上学期理数8月摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·贵阳开学考）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022高三上·贵阳开学考）复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·贵阳开学考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·贵阳开学考）若实数，满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2022高三上·贵阳开学考）已知命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022高三上·贵阳开学考）“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（ ）
A．20米 B．25米 C．米 D．米
7．（2022高三上·贵阳开学考）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高三上·贵阳开学考）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高三上·贵阳开学考）贵安新区是中国第八个国家级新区，位于贵州省贵阳市和安顺市结合部，是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区，同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区．“贵安”拼音的大写形式为“GUIAN”，现从这5个字母中任选2个，则取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·贵阳开学考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·贵阳开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2022高三上·贵阳开学考）设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·贵阳开学考）二项展开式中项的系数是 ．
14．（2022高三上·贵阳开学考）已知平面向量，，若，则 ．
15．（2022高三上·贵阳开学考）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．
16．（2022高三上·贵阳开学考）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·贵阳开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，_________，求△ABC的周长．
在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2022高三上·贵阳开学考）2022年2月4日—2月20日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
非冬奥迷 冬奥迷 合计
岁及以下 40 60 100
岁以上 80 20 100
合计 120 80 200
参考公式：，其中．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.027 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？
（2）现从抽取的50岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后，再从这5人中随机选出2人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望．
19．（2022高三上·贵阳开学考）如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角．
20．（2022高三上·贵阳开学考）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
21．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，设是的两个极值点，求证；．
22．（2022高三上·贵阳开学考）在直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C交于两点，点，求的值.
23．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
24．（2022高三上·贵阳开学考）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，故即中元素的个数为3，
故答案为：B.
【分析】 求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，的虚部为.
故答案为：D.
【分析】 根据复数的除法运算法则，可得，从而得复数的虚部 .
3．【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知几何体是一个棱长为的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，如图所示，
几何体体积.
故答案为：A.
【分析】 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用正方体和圆锥的体积公式求出答案.
4．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由实数，满足不等式组，作出可行域如图，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值．
由，解答，即
．
故答案为：C．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
5．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，为存在量词命题，
其否定为，；
故答案为：D
【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题得出答案.
6．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：依题意，，
设，在、中，，，所以，，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以云楼的高度为25米；
故答案为：B
【分析】设，由锐角三角函数得到，，再在△ABD中利用余弦定理求出x，即可求解出答案.
7．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以是奇函数，故排除BD，
又，则，故排除A，
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析函数的定义域和奇偶性，排除D、B；求出f (π)的值，排除A，即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，，
当时，
当时，所以，即，所以，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：A
【分析】 利用递推式推出是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式，计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：依题意从中任取2个字母所有可能结果为、、、、
、、、、、共10个基本事件，
其中满足恰有1个字母为轴对称图形的有、、、、、共6个基本事件，
所以取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率；
故答案为：B
【分析】从G， U， I， A， N5个字母中任取2个字母，利用列举法能求出基本事件总数的个数，再从基本事件中选出2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的事件个数，根据古典概型的概率计算公式，即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，故，
故，
因为，故，所以，
所以即，
故，
故答案为：D.
【分析】 根据三角函数的倍角公式，得到，即可得到答案.
11．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】，，，，
在以为直径的圆上，圆心分别为的中点，如图所示，
由椭圆方程知：，，
，，
，，
当四点共线时，取得最大值.
故答案为：A.
【分析】 求得椭圆的a， b，c，由椭圆的定义和向量垂直的条件，结合圆的性质和三角形的中位线定理，以及四点共线的性质，可求得 的最大值 .
12．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】为奇函数，图像关于点对称，
由得：，则方程的根即为与直线的交点，
作出图像如图所示，
①当，即时，如图中所示时，与直线有5个交点，
与均关于对称，；
②当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
③当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
④当时，如图中所示时，与直线有3个交点，
与均关于对称，；
⑤当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.
综上所述：取值的集合为.
故答案为：C.
【分析】先根据题意可作出f (x)在[0， +∞)上的草图，再将方程 的根转化成数y= f(x)与直线y=kx + 1交点的横坐标，接着数形结合，分类讨论即可求出的值，从而求解出答案.
13．【答案】40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为：，
当时，的系数为.
故答案为：40.
【分析】 结合二项式展开式的通项公式，求解即可得 项的系数 .
14．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为，所以.
所以，所以.
故答案为：
【分析】 由已知利用向量共线的坐标运算求得k，再由向量的坐标加法运算及向量模的计算公式求解出答案.
15．【答案】1600π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为20，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：1600π
【分析】 根据正方体的性质及球的定义可求石凳所对应几何体的外接球的半径，从而可求其几何体的外接球的表面积 .
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，
由得：；由得：，
阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，即，
，即，
，解得：，.
故答案为：.
【分析】由题意知，求解出x，阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，得，即可求出双曲线的离心率.
17．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
而为三角形内角，故，故即.
而为三角形内角，故.
（2）解：若选①，因为，故外接圆直径即.
而，故，
而，
故即，
故三角形的周长为.
若选②，因为三角形面积为，故即.
而，
故即，
故三角形的周长为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)正弦定理得 ，可得 ，从而可求出B的值；
(2)若选①，由正弦定理可得ac=4，结合余弦定理可得 的值；若选②，由三角表面积公式可得ac= 4，结合余弦定理可得的值，即可得 △ABC的周长．
18．【答案】（1）解：由列联表可得：，
能在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关.
（2）解：由题意知：“非冬奥迷”应抽取人；“冬奥迷”应抽取人；
则所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
0 1 2
则数学期望.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由 列联表计算可得 ，由此可得结论；
(2)根据分层抽样原则可确定“非冬奥迷”与“冬奥迷”应抽取的人数，由此可确定X所有可能的取值，利用超几何概型概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得X的分布列，根据数学期望公式计算可得数学期望．
19．【答案】（1）证明：三棱柱为直三棱柱，平面，，
为中点，，
平面，平面，，
平面，，平面，
又平面，.
（2）解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
，平面平面，
即平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知可证 ， 进而可证 平面， 可证得 ；
(2) 以为坐标原点，正方向为轴，可建立空间直角坐标系， 求得两平面的法向量，可求出平面与平面的夹角．
20．【答案】（1）解：由题意，设抛物线C的方程为，
因为直线经过，即抛物线C的焦点，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设 ，联立方程组，整理得，
因为，且，，，
所以，
由，可得，则，
所以抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为4.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)先设出物线C的方程为 ，再通过直线 经过抛物线C的焦点，建立方程即可求解出抛物线C的方程；
(2)联立直线与抛物线方程，设而不求，利用导数的几何意义求出两交点出的切线方程，然后再求出两切线的交点P，接着再建立△ABP面积关于m的函数，最后通过函数思想即可求解出 △ABP面积的最小值．
21．【答案】（1）解：当时，，
则的定义域为，；
的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）证明：由题意得：，
是的两个极值点，，；
，
；
令，则，
在上单调递增，，即；
设，，，
即，
，，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】(1)对函数求导，判断导数的符号可证f' (x)≤0，由此可得f (x)的减区间，无递增区间；
(2)分析条件可知，要想证明结论只需证： ， 利用分析法和导数进行分析证明即可.
22．【答案】（1）解：直线l的参数方程是(t为参数)，转换为普通方程为.
曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
（2）解：把直线l的参数方程是(t为参数)，代入，
得到，
所以，
所以.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出 的值.
23．【答案】（1）解：当时，
由，则或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
（2）解：因为，当且仅当时取等号，
又恒成立，所以恒成立，解得，即.
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1) 当时 ，f(x)=|x+1|-|x-1|，利用分类讨论，可得不等式的解集；
(2)若不等式f(x)≥8对任意实数x恒成立，即f (x)的最小值不小于8，利用绝对值三角不等式求出最值，可得实数m的取值范围．
24．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得：，解得：，
（2）证明：由（1）得：，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得a1，d，由等差数列通项公式可求得数列的通项公式；
(2)由(1)可得bn，采用裂项相消法可求得 ，由此可证得 ．
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