河南省安阳市2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安阳开学考）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·安阳开学考）已知复数，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·安阳开学考）已知向量，，若，则（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
4．（2022高三上·安阳开学考）一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．（2022高三上·安阳开学考）设满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
6．（2022高三上·安阳开学考）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
7．（2022高三上·安阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高三上·安阳开学考）已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·安阳开学考）甲 乙 丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲 乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
10．（2022高三上·安阳开学考）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2022
11．（2022高三上·安阳开学考）在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为40π
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为40π
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为52π
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为52π
12．（2022高三上·安阳开学考）已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为．有下述四个结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
二、填空题
13．（2022高三上·安阳开学考）已知等差数列的首项为2，且，则 .
14．（2022高三上·安阳开学考）已知圆与抛物线的准线相切，则 .
15．（2022高三上·安阳开学考）写出一个同时具有下列性质①②的函数： .
①直线是图象的对称轴；②在上恰有三个零点.
16．（2022高三上·安阳开学考）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为 .
三、解答题
17．（2022高三上·安阳开学考）2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
第t天 1 2 3 4 5 6 7
交易额y/千万元
参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.
18．（2022高三上·安阳开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若BC边上的高为b-c，求.
19．（2022高三上·安阳开学考）在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，.
（1）证明：.
（2）求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．（2022高三上·安阳开学考）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且，的面积为4.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）已知是椭圆的上顶点，为椭圆上两动点，若以为直角顶点的等腰直角三角形只有一个，求的取值范围.
21．（2022高三上·安阳开学考）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设函数，若存在两个极值点，，证明：.
22．（2022高三上·安阳开学考）在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）判断直线与曲线的交点个数；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的直角坐标方程.
23．（2022高三上·安阳开学考）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】，
图中阴影部分表示的集合为.
故答案为：B.
【分析】 由图象可知阴影部分对应的集合为A∩(CuB)，然后根据集合的基本运算即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由，知.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
3．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由，得，则.
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出答案.
4．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.
分别取，，的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知，所以平面.
又，所以平面.
又，所以平面.
所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.
故答案为：D.
【分析】 过P， Q， R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P、Q、 R所确定的平面上，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，
令，则当取得最小值时，在轴截距最小，
由图象可知：当过点时，其在轴截距最小，
，即的最小值为-4.
故答案为：A.
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
6．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合对数的公式，即可求解出答案 .
7．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知：，最小正周期，，，
，，解得：，
又，，；
将图象向右平移个单位长度可得：；
将横坐标变为原来的2倍得：.
故答案为：A.
【分析】根据图象求出A、和φ，即可求函数f (x)的解析式，再结合平移，伸缩的法则，求出g(x)，可得答案.
8．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列的前n项和，
所以，，，
又数列为等比数列，
所以数列的公比，
所以，所以，，
所以，
故，
故答案为：B.
【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项，可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】丙在正中间（4号位）；
甲 乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲 乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为.
故答案为：B.
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人，可得答案.
10．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】 设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等，即可求解k值.
11．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．
，，
在直角梯形中，，
棱台的体积为，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，
因此在的延长线上（如图2），即在平面A1B1C1D1下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故答案为：B．
【分析】 由题意可知，，则可求出正四棱台的高，进一步求解其体积即可，设棱台外接球的球心O到上底面的距离为x，则可列出等式，即可解出r，则可求出外接球的表面积.
12．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】被整除的余数有3种情况，分别为0、1、2，
被整除的概率为，被整除余数分别为1、2的概率均为，
所以，，
所以，，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
故，，，
当且为偶数时，，
所以，①④错，②③对.
故答案为：C.
【分析】 由已知可得，利用递推关系求出 ，逐项分析判断，可得答案.
13．【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列的公差为，
由得：，即，解得：，
.
故答案为：4.
【分析】 根据已知条件，结合等差数列的性质，求出公差d，即可求解出答案.
14．【答案】4
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，
所以，解得.
故答案为：4
【分析】 求得圆C的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求m的值.
15．【答案】（答案不唯一，也可写）
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】由题可知先找出一个偶函数，且有三个零点，例如，再将的图象向右平移1个单位长度，得到的图象.
故答案为：
【分析】 根据偶函数和三个零点可先得，然后平移即可满足对称性，可得答案.
16．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设，则P的轨迹方程为，
令，得曲线与交于，，
令，得曲线与交于，，
因为，所以.
故答案为：．
【分析】 根据题意求出P的轨迹方程，再求出该平行四边形的四个顶点坐标，再结合 曲线围成的图形面积，即可求解出答案.
17．【答案】（1）解：因为，，，，
所以.
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，
从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.
（2）解：因为，，所以，
，所以y关于t的回归方程为，
将代入回归方程得（千万元）亿元，
所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)根据相关系数公式求出r，利用数值对应的意义即可说明交易额y与t的关系 ；
(2)先由最小二乘法求出回归方程， 将代入回归方程，即可预测出下一周的第一天的交易额.
18．【答案】（1）解：由，得，即，∴，∵，∴.
（2）解：∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)直接利用正弦定理和余弦定理的转换关系的应用，求出角B的大小；
(2)利用三角形的面积公式和角的恒等变换的应用，求出 的值.
19．【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，
又平面，所以，
在四边形中，作于M，于N，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，则，所以，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，，
则，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可知，平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质、ED⊥DC可得ED⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得ED⊥BD，作DM⊥AB于M ，CN⊥AB于N，可得四边形ABCD为等腰梯形，求出BD，利用勾股定理得AD⊥BD，再用线面垂直的判定定理和性质定理可证得 ；
(2)以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法计算可得平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．【答案】（1）解：设，，由椭圆定义知：；
，，即；
，，
，解得：，椭圆的短轴长为.
（2）解：由（1）知：椭圆，
由题意知：直线与坐标轴不平行，且
可设，，，则，
由得：，则，
同理可得：，
，；
为等腰直角三角形，，，；
不妨设，则，即，
或；
满足题意的有且仅有一个，无正实根或有且仅有一个实根；
，又，
当，即时，无实根，满足题意；
当，即时，，解得：，满足题意；
当，即时，设的两根为，则，
，解得：（舍）；
综上所述：，，即的取值范围为.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意及勾股定理及椭圆的定义的应用可得b的值，进而求出椭圆的短轴长；
(2)由题意可得直线AB， AC的斜率存在且不为0，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，求出B的横坐标，由题意同理可得C的横坐标，求出弦长|AB|，|AC|的值，由题意可得|AB|=|AC|，可得a与k的关系，因为三角形只有一个，可得二次方程的根有唯一的值1，可得a的值，或二次方程无解，可得a的范围，进而求出a的取值范围.
21．【答案】（1）解：，
①若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
②若，由，得或；由，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
③若，恒成立，所以在上单调递增.
④若，由，得或；由，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减；
（2）解：，
，
①当时，恒成立，不可能有两个极值点.
②当时，由得两个根，，因为，且，所以两根，均为正数，故有两个极值点，
不妨设，由知，，
，
等价于，即，
令，，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
故成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1)求导得 令f'(x)=0得x=2a或x= 1，分四种情况：①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，讨论f' (x)的符号，f (x)的单调性，即可求出 的单调区间；
(2)求导得 ， x >0，又存在 ， 为g (x )的极值点， 由得两个根，，因为，且，所以两根，均为正数，故有两个极值点， 要证明 等价于，令， 求导，可得 的单调性，即可证得 .
22．【答案】（1）解：由得：，则，
曲线的直角坐标方程为：；
由直线参数方程可知：恒过点，
，点在圆内部，
直线与曲线相交，即有两个不同的交点.
（2）解：将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：，
即；
设对应的参数分别为，则，，
，
解得：，，又，或，
则直线方程为或.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)确定直线 过定点 ，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得定点在圆内，由此可得直线 与曲线C的交点个数；
(2)把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义列式求得cosa的值，进一步得到直线的斜率，即可求出直线的直角坐标方程.
23．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，原不等式的解集为.
（2）证明：，
当且仅当即时，等号成立，
则，，
故
，
当且仅当时，等号成立.
【知识点】基本不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据f(x)≥4，利用零点分段法解不等式，即可求出不等式的解集；
(2)根据函数f (x)的最小值求得m，根据基本不等式结合“1”的应用，即可得证.
1 / 1河南省安阳市2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安阳开学考）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】，
图中阴影部分表示的集合为.
故答案为：B.
【分析】 由图象可知阴影部分对应的集合为A∩(CuB)，然后根据集合的基本运算即可得答案.
2．（2022高三上·安阳开学考）已知复数，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由，知.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
3．（2022高三上·安阳开学考）已知向量，，若，则（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由，得，则.
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出答案.
4．（2022高三上·安阳开学考）一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.
分别取，，的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知，所以平面.
又，所以平面.
又，所以平面.
所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.
故答案为：D.
【分析】 过P， Q， R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P、Q、 R所确定的平面上，可得答案.
5．（2022高三上·安阳开学考）设满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，
令，则当取得最小值时，在轴截距最小，
由图象可知：当过点时，其在轴截距最小，
，即的最小值为-4.
故答案为：A.
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
6．（2022高三上·安阳开学考）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合对数的公式，即可求解出答案 .
7．（2022高三上·安阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知：，最小正周期，，，
，，解得：，
又，，；
将图象向右平移个单位长度可得：；
将横坐标变为原来的2倍得：.
故答案为：A.
【分析】根据图象求出A、和φ，即可求函数f (x)的解析式，再结合平移，伸缩的法则，求出g(x)，可得答案.
8．（2022高三上·安阳开学考）已知等比数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为数列的前n项和，
所以，，，
又数列为等比数列，
所以数列的公比，
所以，所以，，
所以，
故，
故答案为：B.
【分析】由数列的前n项和表达式求出数列的前几项，结合等比数列性质求出数列的首项与公比，由此确定其通项，可求出答案.
9．（2022高三上·安阳开学考）甲 乙 丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲 乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】丙在正中间（4号位）；
甲 乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲 乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为.
故答案为：B.
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人，可得答案.
10．（2022高三上·安阳开学考）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2022
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】 设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等，即可求解k值.
11．（2022高三上·安阳开学考）在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为40π
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为40π
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为52π
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为52π
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．
，，
在直角梯形中，，
棱台的体积为，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，
因此在的延长线上（如图2），即在平面A1B1C1D1下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故答案为：B．
【分析】 由题意可知，，则可求出正四棱台的高，进一步求解其体积即可，设棱台外接球的球心O到上底面的距离为x，则可列出等式，即可解出r，则可求出外接球的表面积.
12．（2022高三上·安阳开学考）已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为．有下述四个结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】被整除的余数有3种情况，分别为0、1、2，
被整除的概率为，被整除余数分别为1、2的概率均为，
所以，，
所以，，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
故，，，
当且为偶数时，，
所以，①④错，②③对.
故答案为：C.
【分析】 由已知可得，利用递推关系求出 ，逐项分析判断，可得答案.
二、填空题
13．（2022高三上·安阳开学考）已知等差数列的首项为2，且，则 .
【答案】4
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】设等差数列的公差为，
由得：，即，解得：，
.
故答案为：4.
【分析】 根据已知条件，结合等差数列的性质，求出公差d，即可求解出答案.
14．（2022高三上·安阳开学考）已知圆与抛物线的准线相切，则 .
【答案】4
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，
所以，解得.
故答案为：4
【分析】 求得圆C的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求m的值.
15．（2022高三上·安阳开学考）写出一个同时具有下列性质①②的函数： .
①直线是图象的对称轴；②在上恰有三个零点.
【答案】（答案不唯一，也可写）
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】由题可知先找出一个偶函数，且有三个零点，例如，再将的图象向右平移1个单位长度，得到的图象.
故答案为：
【分析】 根据偶函数和三个零点可先得，然后平移即可满足对称性，可得答案.
16．（2022高三上·安阳开学考）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为 .
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设，则P的轨迹方程为，
令，得曲线与交于，，
令，得曲线与交于，，
因为，所以.
故答案为：．
【分析】 根据题意求出P的轨迹方程，再求出该平行四边形的四个顶点坐标，再结合 曲线围成的图形面积，即可求解出答案.
三、解答题
17．（2022高三上·安阳开学考）2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
第t天 1 2 3 4 5 6 7
交易额y/千万元
参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.
【答案】（1）解：因为，，，，
所以.
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，
从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.
（2）解：因为，，所以，
，所以y关于t的回归方程为，
将代入回归方程得（千万元）亿元，
所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)根据相关系数公式求出r，利用数值对应的意义即可说明交易额y与t的关系 ；
(2)先由最小二乘法求出回归方程， 将代入回归方程，即可预测出下一周的第一天的交易额.
18．（2022高三上·安阳开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若BC边上的高为b-c，求.
【答案】（1）解：由，得，即，∴，∵，∴.
（2）解：∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)直接利用正弦定理和余弦定理的转换关系的应用，求出角B的大小；
(2)利用三角形的面积公式和角的恒等变换的应用，求出 的值.
19．（2022高三上·安阳开学考）在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，.
（1）证明：.
（2）求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，
又平面，所以，
在四边形中，作于M，于N，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，则，所以，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，，
则，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可知，平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质、ED⊥DC可得ED⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得ED⊥BD，作DM⊥AB于M ，CN⊥AB于N，可得四边形ABCD为等腰梯形，求出BD，利用勾股定理得AD⊥BD，再用线面垂直的判定定理和性质定理可证得 ；
(2)以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法计算可得平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．（2022高三上·安阳开学考）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且，的面积为4.
（1）求椭圆的短轴长；
（2）已知是椭圆的上顶点，为椭圆上两动点，若以为直角顶点的等腰直角三角形只有一个，求的取值范围.
【答案】（1）解：设，，由椭圆定义知：；
，，即；
，，
，解得：，椭圆的短轴长为.
（2）解：由（1）知：椭圆，
由题意知：直线与坐标轴不平行，且
可设，，，则，
由得：，则，
同理可得：，
，；
为等腰直角三角形，，，；
不妨设，则，即，
或；
满足题意的有且仅有一个，无正实根或有且仅有一个实根；
，又，
当，即时，无实根，满足题意；
当，即时，，解得：，满足题意；
当，即时，设的两根为，则，
，解得：（舍）；
综上所述：，，即的取值范围为.
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由题意及勾股定理及椭圆的定义的应用可得b的值，进而求出椭圆的短轴长；
(2)由题意可得直线AB， AC的斜率存在且不为0，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，求出B的横坐标，由题意同理可得C的横坐标，求出弦长|AB|，|AC|的值，由题意可得|AB|=|AC|，可得a与k的关系，因为三角形只有一个，可得二次方程的根有唯一的值1，可得a的值，或二次方程无解，可得a的范围，进而求出a的取值范围.
21．（2022高三上·安阳开学考）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）设函数，若存在两个极值点，，证明：.
【答案】（1）解：，
①若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
②若，由，得或；由，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
③若，恒成立，所以在上单调递增.
④若，由，得或；由，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减；
（2）解：，
，
①当时，恒成立，不可能有两个极值点.
②当时，由得两个根，，因为，且，所以两根，均为正数，故有两个极值点，
不妨设，由知，，
，
等价于，即，
令，，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
故成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1)求导得 令f'(x)=0得x=2a或x= 1，分四种情况：①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，讨论f' (x)的符号，f (x)的单调性，即可求出 的单调区间；
(2)求导得 ， x >0，又存在 ， 为g (x )的极值点， 由得两个根，，因为，且，所以两根，均为正数，故有两个极值点， 要证明 等价于，令， 求导，可得 的单调性，即可证得 .
22．（2022高三上·安阳开学考）在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）判断直线与曲线的交点个数；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的直角坐标方程.
【答案】（1）解：由得：，则，
曲线的直角坐标方程为：；
由直线参数方程可知：恒过点，
，点在圆内部，
直线与曲线相交，即有两个不同的交点.
（2）解：将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：，
即；
设对应的参数分别为，则，，
，
解得：，，又，或，
则直线方程为或.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)确定直线 过定点 ，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得定点在圆内，由此可得直线 与曲线C的交点个数；
(2)把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义列式求得cosa的值，进一步得到直线的斜率，即可求出直线的直角坐标方程.
23．（2022高三上·安阳开学考）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，原不等式的解集为.
（2）证明：，
当且仅当即时，等号成立，
则，，
故
，
当且仅当时，等号成立.
【知识点】基本不等式；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】(1)根据f(x)≥4，利用零点分段法解不等式，即可求出不等式的解集；
(2)根据函数f (x)的最小值求得m，根据基本不等式结合“1”的应用，即可得证.
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