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河南省六市TOP二十名校2022-2023学年高三上学期理数9月摸底考试试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．{1} B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，，则.
故答案为：B
【分析】 解不等式求得集合A，根据集合的基本运算求得，进而求得 的值 .
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设，则，
，
，
故答案为：A.
【分析】 结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的模长公式可求出答案.
3．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由可得，
则，
又，则，
所以与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】 由已知可求得，再由夹角公式求解，即可求出与的夹角.
4．中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
【答案】B
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，
每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，，
整理得，且，，
则，，，，
，，.
故答案为：B.
【分析】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，再推断与下一行的关系，从而得出第9行的个数.
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线l与x轴交于点H，则，
，所以.
故答案为：D
【分析】 由抛物线的定义可知△ABF为正三角形，然后求解出答案.
6．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的首项为，公比为q，
由题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），，
所以.
故答案为：B.
【分析】 由已知结合等比数列的求和公式及通项公式可求出首项及公比，进而可求出答案.
7．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；
因为，，所以平面平面，
而平面与平面相交，则B选项不正确；
在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；
设的中点为G，因为，所以，
又因为，，所以，
所以平面，所以平面平面，则D选项正确.
故答案为：D.
【分析】由线面的位置关系可判断A；由面面平行的判定和性质可判断B；由线面垂直的判定和性质可判断C；建立空间直角坐标系，由法向量的关系可判断D.
8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为，则输入的的值可以为（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】程序运行如下：，；，；，；，；…，
此程序的值3个一循环.若输出的的值为，则输入的的值为，仅有B符合；
故答案为：B.
【分析】 先运行程序框图，找出规律即可得到答案.
9．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，作正四棱柱，
使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，.
由题意可知，，，.
由可知，即为直线AC与BD所成的角或其补角，
所以.
故答案为：C.
【分析】 作正四棱柱，使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，，由可知，即为直线AC与BD所成的角或其补角，利用余弦定理计算出异面直线AC与BD所成角的余弦值.
10．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称.
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称.
故答案为：A.
【分析】 由为奇函数得，从而|f(x)|的图象关于直线x=1对称，由为偶函数，得函数g (x)的图象关于直线x=1对称，由此推导出的图象关于直线对称.
11．将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】最大的数在第4组的概率，
在前3组中，最大的数在第3组的概率，
在前2组中，最大的数在第2组的概率，
的概率.
故答案为：A.
【分析】 先考虑10个数中最大数必然在第四组，求出概率，再顺次考虑剩余6个数的最大数必然在第三组，求出概率，以此类推下去，可得答案.
12．若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，设切点为，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解.
设，，
由得或，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
又易知在上单调递减，在上单调递增，开口向上，
所以当x趋向于负无穷或正无穷时，都趋向于正无穷.
而当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷，故也就趋向于正无穷；
当x趋向于正无穷时，趋向于正无穷且增长速率远远超过，故且趋向于零，
又，，函数的大致图像如图所示.
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故答案为：D.
【分析】 设切点为 ，利用导数求出过切点的切线方程，问题转化为方程有三个不同的解，设，利用导数研究其单调性与最值，画出函数f (x)的大致图象，数形结合得答案.
二、填空题
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【答案】-16
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由于展开式的通项公式为，
当时，的系数为；
当时，的系数为；
的展开式中含的系数为.
故答案为：-16.
【分析】 根据已知，只要求出展开式中的含，的系数即可求解出展开式中的系数 .
14．曲线的一个对称中心为 （答案不唯一）.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】两角和与差的正切公式；正切函数的奇偶性与对称性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
令或，
则或，
令，则.所以函数的一个对称中心是.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 根据题意得定义域为，根据正切函数的图象与性质，可求出答案.
15．已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设点P在x轴的上方，由题意可知轴，
所以P点的横坐标，代入，得.
又为直角三角形，易知，且，
则有，即，
则，即，则.
故答案为：
【分析】 设点P在x轴的上方，由题意可知轴，又为直角三角形，易知，且，再结合b2=c2-a2及，求解出 C的离心率 .
16．玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成，L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示，若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解法1：如图，作于F，于G，延长CD交AB于E，
设，点A到直线CD的距离为h.
由题意可知，，，
则
.
当时，h取最大值.
若木块可以旋转穿过隔断，则有，
即，故的最小值为.
解法2：如图，设CD的中点为I，点A到直线CD的距离为h，
由题意可知，由，可知.
则有，
当时，两个等号同时成立，此时h取最大值.
若木块可以旋转穿过隔断，则有，即，
故的最小值为.
故答案为：
【分析】 作于F，于G，延长CD交AB于E，设，可得，可得，可求出的最小值.
三、解答题
17．中，.
（1）求A；
（2）若，的面积为，求.
【答案】（1）解：由，
可得，
整理得.
则，
即，
故.
由，故，
又，所以.
（2）解：设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，所以的面积，
所以.
因为，由余弦定理，
得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据同角三角函数关系和两角差公式将已知条件进行变形可得cosA的值，结合A的取值范围可得A角的值；
(2)由三角形面积公式可得bc的值，再利用余弦定理可求得 的值.
18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点.
（1）证明：平面平面ADP；
（2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.
【答案】（1）证明：由题意可知，
因为底面ABCD，平面ABCD，所以，
又，所以平面ADP，
又平面ABE，所以平面平面ADP.
（2）解：由题意可知为等边三角形，且.
连接AC，作于F，连接BF，
则有，且平面ABCD，
因为，所以，
所以，故E为CP的中点.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面ABE的一个法向量，
，，
则，即，可取.
设平面CDP的一个法向量，，，
则，即，可取.
则，
即所求角的正弦值为.
故平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)推导出AB⊥AD， AB⊥AP，从而 平面ADP， 由此能证明平面ABE⊥平面ADP；
(2)连接AC，作EF⊥AC于E，连接BF，则有EF// AP且EF⊥平面ABCD， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法能求出平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.
19．检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）.在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解，报告基团与淬灭基团分离，发出荧光.荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小.某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为600管和1000管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：
甲公司：
日核酸检测量 增加200％ 增加50％ 降低10％
p
乙公司：
日核酸检测量 增加80％ 增加50％ 增加10％
p
（1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率；
（2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？
【答案】（1）解：记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，
事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，
事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％”
则，且A，B相互独立.
由题意可知，.
，
故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率为.
（2）解：设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X，采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为Y，
随机变量X的分布列为：
X 1800 900 540
p
则.
随机变量Y的分布列为：
Y 1800 1500 1100
p
则.
故，应该选择乙公司的仪器.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意结合事件的独立性求解至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%的概率即可；
(2)分别求得两家公司的数学期望，然后给出结论即可.
20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.
（1）求C的方程；
（2）设M，N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P，若P的横坐标为4，求的周长.
【答案】（1）解：设椭圆C的半焦距为c，
由，，可得，.
则，，，
所以椭圆C的方程为
（2）解：由C的方程可知，，设，，，
则直线AM的方程为，直线BN的方程为，
由，得，
，
所以，则.
所以，
由，得，
所以，得
所以.
所以直线MN的斜率为
所以直线MN的方程为，
即，
故直线MN恒过右焦点.
则有的周长，
所以的周长为8.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知可得 ，，可求出C的方程；
(2) 设，，， 与椭圆联立方程组，可得 ，求出 直线MN的方程，进而求出直线MN恒过右焦点，可求出△FMN的周长.
21．已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：设，
∵的定义域为，可知与的零点相同.
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时取得最小值，且，则有且只有1个零点，
故有且只有1个零点.
（2）解：方法一：由，得，
由，得，设，
则，.
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
当时，因为，所以.
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
故在上的最小值为，即恒成立，
当时，设，则，
令，得，由知.
当时，，单调递减，∴.
故时，，单调递减，
而，即时，，故不成立.
综上，的取值范围为.
方法二：
令，.
则时，递减；时，递增.
∴.
则对于恒成立.
令.则，.
下面分两种情况说明：
若，即时，恒成立，单调递增.
∴符合题意.
若，即时，令，则.
则时，递减，，舍去.
综上，，即的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1) 设， 由F(x)的定义域可知f (x)与F (x)的零点相同，利用导数研究函数F (x)的单调性可知F (x)有且只有1个零点，从而f (x)仅有一个零点；
(2)将已知条件变形为 ， 设， 分a≤1和a>1两种情况，利用导数即可求解出 的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，若，求m.
【答案】（1）解：由，整理得，即，
又，所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）解：由l的参数方程可知，直线l过点，倾斜角为.
把代入，整理得.
设点A，B所对应的参数分别为，，
由题意可知，，
且，①，②
因为，则有，③
①③联立，得，，
代入②，解得.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用建立方程，进一步求出m的值.
23．已知a，b都是正数，且，证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明：由，两边平方整理得，
因为，当“”时等号成立.
所以，
所以，当“”时，等号成立.
（2）证明：.
由，得，当“”时等号成立.
则，故，所以，
所以，当“”时，等号成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)根据基本不等式进行证明即可证得 ；
(2)先因式分解，再利用基本不等式进行证明即可.
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河南省六市TOP二十名校2022-2023学年高三上学期理数9月摸底考试试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．{1} B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
6．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
7．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为，则输入的的值可以为（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
9．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．的图象关于点对称
11．将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记是第i组中最大的数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
14．曲线的一个对称中心为 （答案不唯一）.
15．已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为 .
16．玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成，L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示，若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为 .
三、解答题
17．中，.
（1）求A；
（2）若，的面积为，求.
18．如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，，，，E为棱CP上一点.
（1）证明：平面平面ADP；
（2）若，求平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.
19．检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）.在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解，报告基团与淬灭基团分离，发出荧光.荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小.某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为600管和1000管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：
甲公司：
日核酸检测量 增加200％ 增加50％ 降低10％
p
乙公司：
日核酸检测量 增加80％ 增加50％ 增加10％
p
（1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率；
（2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？
20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.
（1）求C的方程；
（2）设M，N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P，若P的横坐标为4，求的周长.
21．已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）若，求的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，若，求m.
23．已知a，b都是正数，且，证明：
（1）；
（2）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，，则.
故答案为：B
【分析】 解不等式求得集合A，根据集合的基本运算求得，进而求得 的值 .
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设，则，
，
，
故答案为：A.
【分析】 结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的模长公式可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由可得，
则，
又，则，
所以与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】 由已知可求得，再由夹角公式求解，即可求出与的夹角.
4．【答案】B
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，
每个三角形产生下一行的1个正方形，则有，，
整理得，且，，
则，，，，
，，.
故答案为：B.
【分析】设为第n行中正方形的个数，为第n行中三角形的个数，再推断与下一行的关系，从而得出第9行的个数.
5．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线l与x轴交于点H，则，
，所以.
故答案为：D
【分析】 由抛物线的定义可知△ABF为正三角形，然后求解出答案.
6．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的首项为，公比为q，
由题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），，
所以.
故答案为：B.
【分析】 由已知结合等比数列的求和公式及通项公式可求出首项及公比，进而可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图，因为，而与平面相交，则A选项不正确；
因为，，所以平面平面，
而平面与平面相交，则B选项不正确；
在矩形中，与不垂直，即与平面不垂直，则C选项不正确；
设的中点为G，因为，所以，
又因为，，所以，
所以平面，所以平面平面，则D选项正确.
故答案为：D.
【分析】由线面的位置关系可判断A；由面面平行的判定和性质可判断B；由线面垂直的判定和性质可判断C；建立空间直角坐标系，由法向量的关系可判断D.
8．【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】程序运行如下：，；，；，；，；…，
此程序的值3个一循环.若输出的的值为，则输入的的值为，仅有B符合；
故答案为：B.
【分析】 先运行程序框图，找出规律即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，作正四棱柱，
使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，.
由题意可知，，，.
由可知，即为直线AC与BD所成的角或其补角，
所以.
故答案为：C.
【分析】 作正四棱柱，使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，，由可知，即为直线AC与BD所成的角或其补角，利用余弦定理计算出异面直线AC与BD所成角的余弦值.
10．【答案】A
【知识点】函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点对称，则的图象关于直线对称.
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称.
故答案为：A.
【分析】 由为奇函数得，从而|f(x)|的图象关于直线x=1对称，由为偶函数，得函数g (x)的图象关于直线x=1对称，由此推导出的图象关于直线对称.
11．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】最大的数在第4组的概率，
在前3组中，最大的数在第3组的概率，
在前2组中，最大的数在第2组的概率，
的概率.
故答案为：A.
【分析】 先考虑10个数中最大数必然在第四组，求出概率，再顺次考虑剩余6个数的最大数必然在第三组，求出概率，以此类推下去，可得答案.
12．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，设切点为，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解.
设，，
由得或，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
又易知在上单调递减，在上单调递增，开口向上，
所以当x趋向于负无穷或正无穷时，都趋向于正无穷.
而当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷，故也就趋向于正无穷；
当x趋向于正无穷时，趋向于正无穷且增长速率远远超过，故且趋向于零，
又，，函数的大致图像如图所示.
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故答案为：D.
【分析】 设切点为 ，利用导数求出过切点的切线方程，问题转化为方程有三个不同的解，设，利用导数研究其单调性与最值，画出函数f (x)的大致图象，数形结合得答案.
13．【答案】-16
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由于展开式的通项公式为，
当时，的系数为；
当时，的系数为；
的展开式中含的系数为.
故答案为：-16.
【分析】 根据已知，只要求出展开式中的含，的系数即可求解出展开式中的系数 .
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】两角和与差的正切公式；正切函数的奇偶性与对称性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，
令或，
则或，
令，则.所以函数的一个对称中心是.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 根据题意得定义域为，根据正切函数的图象与性质，可求出答案.
15．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设点P在x轴的上方，由题意可知轴，
所以P点的横坐标，代入，得.
又为直角三角形，易知，且，
则有，即，
则，即，则.
故答案为：
【分析】 设点P在x轴的上方，由题意可知轴，又为直角三角形，易知，且，再结合b2=c2-a2及，求解出 C的离心率 .
16．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】解法1：如图，作于F，于G，延长CD交AB于E，
设，点A到直线CD的距离为h.
由题意可知，，，
则
.
当时，h取最大值.
若木块可以旋转穿过隔断，则有，
即，故的最小值为.
解法2：如图，设CD的中点为I，点A到直线CD的距离为h，
由题意可知，由，可知.
则有，
当时，两个等号同时成立，此时h取最大值.
若木块可以旋转穿过隔断，则有，即，
故的最小值为.
故答案为：
【分析】 作于F，于G，延长CD交AB于E，设，可得，可得，可求出的最小值.
17．【答案】（1）解：由，
可得，
整理得.
则，
即，
故.
由，故，
又，所以.
（2）解：设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，所以的面积，
所以.
因为，由余弦定理，
得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据同角三角函数关系和两角差公式将已知条件进行变形可得cosA的值，结合A的取值范围可得A角的值；
(2)由三角形面积公式可得bc的值，再利用余弦定理可求得 的值.
18．【答案】（1）证明：由题意可知，
因为底面ABCD，平面ABCD，所以，
又，所以平面ADP，
又平面ABE，所以平面平面ADP.
（2）解：由题意可知为等边三角形，且.
连接AC，作于F，连接BF，
则有，且平面ABCD，
因为，所以，
所以，故E为CP的中点.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面ABE的一个法向量，
，，
则，即，可取.
设平面CDP的一个法向量，，，
则，即，可取.
则，
即所求角的正弦值为.
故平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)推导出AB⊥AD， AB⊥AP，从而 平面ADP， 由此能证明平面ABE⊥平面ADP；
(2)连接AC，作EF⊥AC于E，连接BF，则有EF// AP且EF⊥平面ABCD， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法能求出平面ABE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值.
19．【答案】（1）解：记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，
事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50％”，
事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％”
则，且A，B相互独立.
由题意可知，.
，
故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50％的概率为.
（2）解：设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X，采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为Y，
随机变量X的分布列为：
X 1800 900 540
p
则.
随机变量Y的分布列为：
Y 1800 1500 1100
p
则.
故，应该选择乙公司的仪器.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意结合事件的独立性求解至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%的概率即可；
(2)分别求得两家公司的数学期望，然后给出结论即可.
20．【答案】（1）解：设椭圆C的半焦距为c，
由，，可得，.
则，，，
所以椭圆C的方程为
（2）解：由C的方程可知，，设，，，
则直线AM的方程为，直线BN的方程为，
由，得，
，
所以，则.
所以，
由，得，
所以，得
所以.
所以直线MN的斜率为
所以直线MN的方程为，
即，
故直线MN恒过右焦点.
则有的周长，
所以的周长为8.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由已知可得 ，，可求出C的方程；
(2) 设，，， 与椭圆联立方程组，可得 ，求出 直线MN的方程，进而求出直线MN恒过右焦点，可求出△FMN的周长.
21．【答案】（1）解：设，
∵的定义域为，可知与的零点相同.
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时取得最小值，且，则有且只有1个零点，
故有且只有1个零点.
（2）解：方法一：由，得，
由，得，设，
则，.
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
当时，因为，所以.
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
故在上的最小值为，即恒成立，
当时，设，则，
令，得，由知.
当时，，单调递减，∴.
故时，，单调递减，
而，即时，，故不成立.
综上，的取值范围为.
方法二：
令，.
则时，递减；时，递增.
∴.
则对于恒成立.
令.则，.
下面分两种情况说明：
若，即时，恒成立，单调递增.
∴符合题意.
若，即时，令，则.
则时，递减，，舍去.
综上，，即的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1) 设， 由F(x)的定义域可知f (x)与F (x)的零点相同，利用导数研究函数F (x)的单调性可知F (x)有且只有1个零点，从而f (x)仅有一个零点；
(2)将已知条件变形为 ， 设， 分a≤1和a>1两种情况，利用导数即可求解出 的取值范围.
22．【答案】（1）解：由，整理得，即，
又，所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）解：由l的参数方程可知，直线l过点，倾斜角为.
把代入，整理得.
设点A，B所对应的参数分别为，，
由题意可知，，
且，①，②
因为，则有，③
①③联立，得，，
代入②，解得.
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用建立方程，进一步求出m的值.
23．【答案】（1）证明：由，两边平方整理得，
因为，当“”时等号成立.
所以，
所以，当“”时，等号成立.
（2）证明：.
由，得，当“”时等号成立.
则，故，所以，
所以，当“”时，等号成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)根据基本不等式进行证明即可证得 ；
(2)先因式分解，再利用基本不等式进行证明即可.
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