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河南省杞县高中2022-2023学年高三上学期文数开学联考试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．{0} B．{2} C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则（ ）
A．3 B．-3 C．11 D．-11
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数满足则的最小值为（ ）
A．1 B．-3 C．-6 D．-8
6．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．某医院计划安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，每个人只能去一家医院，每家医院都必须有人去，则甲恰好去医院的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
11．已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，且，则两函数图象交点的个数为（ ）
A．1080 B．1090 C．1100 D．1150
二、填空题
13．在中，，则 .
14．若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于A，B两点，则 ．
15．若直线与曲线相切，则切点的坐标为 .
16．已知函数f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的x1，x2∈（0，），且x1≠x2，不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜||恒成立，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题
17．已知数列满足，设.
（1）证明：是等比数列；
（2）求.
18．“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖 水库 湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据其中和分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得，
附：相关系数
（1）求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）当F为PC的中点，且时，求点P到平面AEF的距离．
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的值.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
22．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.
（1）求半圆的参数方程；
（2）设是半圆上的一点，且，试写出点的极坐标.
23．已知均为正实数，且.证明：
（1）；
（2）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，
根据集合交集的概念及运算，可得.
故答案为：B.
【分析】根据集合交集的概念及运算求出答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解出答案.
3．【答案】C
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，向量，
因为，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】 由已知结合向量数量积的性质的坐标表示，即可求解出m的值.
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由.
故答案为：B.
【分析】 由已知利用两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可求解出答案.
5．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出约束条件的可行域（如下图阴影部分所示），
直线与直线交于点，二者联立后可求出点坐标为，
当直线过点时，有最小值，即.
故答案为：D.
【分析】 由约束条件作出可行域，联立方程组求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
即点A到准线的距离为4，
所以点A的横坐标为2，
当时，，
即，
所以.
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件求解A的坐标，判断三角形的形状，然后求解出 的面积 .
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于，由平行具有传递可知A正确，不符合题意；
对于B，若，则，又，则B正确，不符合题意；
对于，若，则或，C错误，符合题意；
对于D，由，则，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据空间直线和平面平行和垂直的位置关系逐项进行判断，即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，，
所以，即，
所以此双曲线的离心率为.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，分析可得c=2，，由双曲线的定义可得，可得a，由双曲线的性质可得离心率.
9．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，
共有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共6种情况；
其中“甲恰好去医院”的有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共2种情况，
故所求概率.
故答案为：D.
【分析】 根据排列数公式，古典概型的概率公式即可求解出答案.
10．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.
因为，
四棱锥的表面积，
所以，
因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，
所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.
故答案为：B.
【分析】 根据几何体内切圆半径公式为，由两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.
11．【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】由，得或，
所以相邻的两角的差为或，
所以相邻两点中距离较小的应满足，
又由，所以，故，
因为直线为图象的一条对称轴，所以，
解得，
因为，所以，故.
故答案为：D.
【分析】 先由，得或，结合相邻两点间的最小距离为 ，可得，再根据直线为图象的一条对称轴，解出φ即可得答案.
12．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为函数满足，即，所以函数的图象关于点对称.
又，所以函数的图象也关于点对称.
若点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称，
所以交点可以两两配对，所以，解得.
故答案为：A
【分析】由函数满足，即，得函数的图象关于点对称，由点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称，即可得，求解出答案.
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知得.由余弦定理得，所以.
故答案为：
【分析】 由已知求出A，然后利用余弦定理即可求解出答案.
14．【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：根据题意，若直线的倾斜角为且经过原点，则其方程为，即，
圆，即，其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则；
故答案为2．
【分析】 根据题意，求出直线的方程，分析圆的圆心坐标以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案.
15．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设切点为，，，
又，，解得，故切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，先对曲线 求导数，据此写出切线方程，再根据已知，即可求出切点坐标.
16．【答案】（0，2]
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以函数在上单调递增，
不妨设，所以，
令，
即函数在上单调递减.
所以恒成立，
等价于：恒成立.
只需满足即可.解得，
又因为，所以，
即实数的取值范围为.
【分析】 求导得， 函数在上单调递增，不妨设，所以，令，得函数在上单调递减，恒成立，进而求出实数a的取值范围.
17．【答案】（1）证明：当时，，则
从而由，得，又，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，
所以
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)直接利用赋值法求出数列的首项，利用定义进行证明可得 是等比数列；
(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的前n项和公式的应用求出结果.
18．【答案】（1）解：样区水生动物平均数为，
地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为.
（2）解：样本的相关系数为
（3）解：由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【分析】(1)根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可；
(2)根据相关系数的公式求解即可得样本的相关系数；
(3)根据(2)中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可.
19．【答案】（1）证明：连接AC，由题意知△ABC为等边三角形，
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD//BC，
所以AE⊥_AD，
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE，
又AP∩AD=A，AP，平面PAD，
所以AE⊥平面PAD，
因为平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．
（2）解：连接BF，因为E，F分别为BC，PC的中点，所以PB//EF，
因为平面AEF，平面AEF，所以PB//平面AEF，
设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，
因为E，F分别为BC，PC的中点，
所以，，，
所以，
又，点F到平面ABE的距离为，
所以，
又，
所以，所以，即点P到平面AEF的距离为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)连接AC，由E为BC的中点得AE⊥BC，AE⊥AD，线面垂直得到PA⊥AE，再由线面垂直的判断得到AE⊥平面PAD，面面垂直的判断得到平面AEF⊥平面PAD；
(2)连接BF，线面平行的判断得到PB//平面AEF，设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，利用等体积可求出点P到平面AEF的距离．
20．【答案】（1）解：由，得，的定义域，
①当时，，故在上为增函数，
②当时，令，得，
当时，，故为减函数，当时，，为增函数.
综上可知：当时，在上为增函数；
当时，在上单调递减，在上为增函数.
（2）解：当时，在上为增函数，
又，则当时，，不符合题意；
当时，函数在上取得最小值，最小值为，则.
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求出原函数的导函数，对a分类求解函数 的单调性；
(2)当a≤0时，f(x)在(0， +∞)上为增函数，又f(1)=0，可得当x∈(0，1)时， f(x)<0，不合题意；当a>0时，函数f (x)在x=a处求得最小值，最小值为 ，则， 令，利用导数可得g(a)在(0，1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，由g(1) =0求出a值.
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为.因为，所以，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，
因为的最大面积为，所以，即，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，联立消去得，
解得，
所以，所以两点的坐标分别为，
所以.
因为，设四边形的面积为，
所以.
设直线的方程为.
联立消去得，
所以，
即，
，
所以
，
所以当时，，
此时.
所以四边形面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知可求C，进而可得b，可求E的方程；
(2) 设，联立 可得|AB|， 设直线的方程为，可得，可得|CD|的最大值，从而可求四边形ACBD面积的最大值.
22．【答案】（1）解：由，得，
代入公式 ，得，即，
故半圆的参数方程为（为参数，）.
（2）解：因为，所以令，
则解得.
故点的极坐标为.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】 (1)半圆C的极坐标方程为 ， 求出普通方程，然后求解出半圆的参数方程；
(2)求解OT的倾斜角，然后推出T的极坐标.
23．【答案】（1）证明：依题意：都为正实数，且，
，当且仅当时等号成立，
上述三个式子相加得，
即成立.
（2）证明：①，当且仅当，时等号成立.
②，当且仅当，时等号成立，
③，当且仅当，时等号成立，
①②③相加并化简得，
当且仅当时等号成立.
即成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)利用重要不等式结合已知条件，推出 ；
(2)通过 ，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，， 当且仅当时等号成立， 累加，转化求解证明即可.
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河南省杞县高中2022-2023学年高三上学期文数开学联考试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．{0} B．{2} C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，
根据集合交集的概念及运算，可得.
故答案为：B.
【分析】根据集合交集的概念及运算求出答案.
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解出答案.
3．已知，若，则（ ）
A．3 B．-3 C．11 D．-11
【答案】C
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，向量，
因为，可得，解得.
故答案为：C.
【分析】 由已知结合向量数量积的性质的坐标表示，即可求解出m的值.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由.
故答案为：B.
【分析】 由已知利用两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可求解出答案.
5．已知实数满足则的最小值为（ ）
A．1 B．-3 C．-6 D．-8
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出约束条件的可行域（如下图阴影部分所示），
直线与直线交于点，二者联立后可求出点坐标为，
当直线过点时，有最小值，即.
故答案为：D.
【分析】 由约束条件作出可行域，联立方程组求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
6．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
则，
即点A到准线的距离为4，
所以点A的横坐标为2，
当时，，
即，
所以.
故答案为：C.
【分析】 利用已知条件求解A的坐标，判断三角形的形状，然后求解出 的面积 .
7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于，由平行具有传递可知A正确，不符合题意；
对于B，若，则，又，则B正确，不符合题意；
对于，若，则或，C错误，符合题意；
对于D，由，则，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 根据空间直线和平面平行和垂直的位置关系逐项进行判断，即可得答案.
8．在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，，
所以，即，
所以此双曲线的离心率为.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，分析可得c=2，，由双曲线的定义可得，可得a，由双曲线的性质可得离心率.
9．某医院计划安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，每个人只能去一家医院，每家医院都必须有人去，则甲恰好去医院的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，
共有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共6种情况；
其中“甲恰好去医院”的有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共2种情况，
故所求概率.
故答案为：D.
【分析】 根据排列数公式，古典概型的概率公式即可求解出答案.
10．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.
因为，
四棱锥的表面积，
所以，
因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，
所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.
故答案为：B.
【分析】 根据几何体内切圆半径公式为，由两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.
11．已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】由，得或，
所以相邻的两角的差为或，
所以相邻两点中距离较小的应满足，
又由，所以，故，
因为直线为图象的一条对称轴，所以，
解得，
因为，所以，故.
故答案为：D.
【分析】 先由，得或，结合相邻两点间的最小距离为 ，可得，再根据直线为图象的一条对称轴，解出φ即可得答案.
12．已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，且，则两函数图象交点的个数为（ ）
A．1080 B．1090 C．1100 D．1150
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为函数满足，即，所以函数的图象关于点对称.
又，所以函数的图象也关于点对称.
若点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称，
所以交点可以两两配对，所以，解得.
故答案为：A
【分析】由函数满足，即，得函数的图象关于点对称，由点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称，即可得，求解出答案.
二、填空题
13．在中，，则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由已知得.由余弦定理得，所以.
故答案为：
【分析】 由已知求出A，然后利用余弦定理即可求解出答案.
14．若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于A，B两点，则 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：根据题意，若直线的倾斜角为且经过原点，则其方程为，即，
圆，即，其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则；
故答案为2．
【分析】 根据题意，求出直线的方程，分析圆的圆心坐标以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案.
15．若直线与曲线相切，则切点的坐标为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：设切点为，，，
又，，解得，故切点坐标为.
故答案为：
【分析】设切点为，先对曲线 求导数，据此写出切线方程，再根据已知，即可求出切点坐标.
16．已知函数f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的x1，x2∈（0，），且x1≠x2，不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜||恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（0，2]
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以函数在上单调递增，
不妨设，所以，
令，
即函数在上单调递减.
所以恒成立，
等价于：恒成立.
只需满足即可.解得，
又因为，所以，
即实数的取值范围为.
【分析】 求导得， 函数在上单调递增，不妨设，所以，令，得函数在上单调递减，恒成立，进而求出实数a的取值范围.
三、解答题
17．已知数列满足，设.
（1）证明：是等比数列；
（2）求.
【答案】（1）证明：当时，，则
从而由，得，又，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，
所以
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)直接利用赋值法求出数列的首项，利用定义进行证明可得 是等比数列；
(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的前n项和公式的应用求出结果.
18．“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖 水库 湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据其中和分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得，
附：相关系数
（1）求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
【答案】（1）解：样区水生动物平均数为，
地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为.
（2）解：样本的相关系数为
（3）解：由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【分析】(1)根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可；
(2)根据相关系数的公式求解即可得样本的相关系数；
(3)根据(2)中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可.
19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）当F为PC的中点，且时，求点P到平面AEF的距离．
【答案】（1）证明：连接AC，由题意知△ABC为等边三角形，
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD//BC，
所以AE⊥_AD，
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE，
又AP∩AD=A，AP，平面PAD，
所以AE⊥平面PAD，
因为平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．
（2）解：连接BF，因为E，F分别为BC，PC的中点，所以PB//EF，
因为平面AEF，平面AEF，所以PB//平面AEF，
设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，
因为E，F分别为BC，PC的中点，
所以，，，
所以，
又，点F到平面ABE的距离为，
所以，
又，
所以，所以，即点P到平面AEF的距离为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)连接AC，由E为BC的中点得AE⊥BC，AE⊥AD，线面垂直得到PA⊥AE，再由线面垂直的判断得到AE⊥平面PAD，面面垂直的判断得到平面AEF⊥平面PAD；
(2)连接BF，线面平行的判断得到PB//平面AEF，设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，利用等体积可求出点P到平面AEF的距离．
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：由，得，的定义域，
①当时，，故在上为增函数，
②当时，令，得，
当时，，故为减函数，当时，，为增函数.
综上可知：当时，在上为增函数；
当时，在上单调递减，在上为增函数.
（2）解：当时，在上为增函数，
又，则当时，，不符合题意；
当时，函数在上取得最小值，最小值为，则.
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】 (1)求出原函数的导函数，对a分类求解函数 的单调性；
(2)当a≤0时，f(x)在(0， +∞)上为增函数，又f(1)=0，可得当x∈(0，1)时， f(x)<0，不合题意；当a>0时，函数f (x)在x=a处求得最小值，最小值为 ，则， 令，利用导数可得g(a)在(0，1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，由g(1) =0求出a值.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为.因为，所以，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，
因为的最大面积为，所以，即，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，联立消去得，
解得，
所以，所以两点的坐标分别为，
所以.
因为，设四边形的面积为，
所以.
设直线的方程为.
联立消去得，
所以，
即，
，
所以
，
所以当时，，
此时.
所以四边形面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由已知可求C，进而可得b，可求E的方程；
(2) 设，联立 可得|AB|， 设直线的方程为，可得，可得|CD|的最大值，从而可求四边形ACBD面积的最大值.
22．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.
（1）求半圆的参数方程；
（2）设是半圆上的一点，且，试写出点的极坐标.
【答案】（1）解：由，得，
代入公式 ，得，即，
故半圆的参数方程为（为参数，）.
（2）解：因为，所以令，
则解得.
故点的极坐标为.
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程
【解析】【分析】 (1)半圆C的极坐标方程为 ， 求出普通方程，然后求解出半圆的参数方程；
(2)求解OT的倾斜角，然后推出T的极坐标.
23．已知均为正实数，且.证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明：依题意：都为正实数，且，
，当且仅当时等号成立，
上述三个式子相加得，
即成立.
（2）证明：①，当且仅当，时等号成立.
②，当且仅当，时等号成立，
③，当且仅当，时等号成立，
①②③相加并化简得，
当且仅当时等号成立.
即成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)利用重要不等式结合已知条件，推出 ；
(2)通过 ，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，， 当且仅当时等号成立， 累加，转化求解证明即可.
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