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黑龙江省部分学校2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．{0} B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，.
故答案为：D.
【分析】解不等式分别求得集合A，B，由交集定义可得结果.
2．（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】.
故答案为：C.
【分析】由复数运算法则直接计算即可.
3．（2022高三上·安阳开学考）已知向量，，若，则（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由，得，则.
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出答案.
4．（2022高三上·安阳开学考）一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.
分别取，，的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知，所以平面.
又，所以平面.
又，所以平面.
所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.
故答案为：D.
【分析】 过P， Q， R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P、Q、 R所确定的平面上，可得答案.
5．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】根据题意可得和是方程的两根且，即，.
故，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：A．
【分析】根据三个“二次”的关系可知，和是方程的两根，由韦达定理求出，，，由基本不等式即可求出其最小值．
6．（2022高三上·安阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知：，最小正周期，，，
，，解得：，
又，，；
将图象向右平移个单位长度可得：；
将横坐标变为原来的2倍得：.
故答案为：A.
【分析】根据图象求出A、和φ，即可求函数f (x)的解析式，再结合平移，伸缩的法则，求出g(x)，可得答案.
7．“方程表示椭圆”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】若方程表示椭圆，
则解得或．
对比选项，A符合题意.
故答案为：A．
【分析】由方程表示椭圆则可得到或，再由充分条件的定义即可选出答案.
8．（2022高三上·安阳开学考）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合对数的公式，即可求解出答案 .
9．（2022高三上·安阳开学考）甲 乙 丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲 乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】丙在正中间（4号位）；
甲 乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲 乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为.
故答案为：B.
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人，可得答案.
10．在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．30π D．40π
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；
，，，又，
，
当位于线段上时，
设，则，解得：（舍）；
当位于线段的延长线上时，
设，则，解得：；
该棱台的外接球表面积.
故答案为：D.
【分析】设所求外接球球心为，则在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，设，利用勾股定理可构造方程组求得，代入球的表面积公式即可求得结果.
11．（2022高三上·安阳开学考）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2022
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】 设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等，即可求解k值.
12．（2022高三上·安阳开学考）已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为．有下述四个结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】被整除的余数有3种情况，分别为0、1、2，
被整除的概率为，被整除余数分别为1、2的概率均为，
所以，，
所以，，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
故，，，
当且为偶数时，，
所以，①④错，②③对.
故答案为：C.
【分析】 由已知可得，利用递推关系求出 ，逐项分析判断，可得答案.
二、填空题
13．已知为三角形的内角，且，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由，可得，
故.
故答案为：．
【分析】根据二倍角公式可由，可得，再将化成齐次式即可解出．
14．（2022高三上·安阳开学考）已知圆与抛物线的准线相切，则 .
【答案】4
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，
所以，解得.
故答案为：4
【分析】 求得圆C的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求m的值.
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数： .①；②在R上恰有三个零点.
【答案】(答案不唯一)
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的零点
【解析】【解答】因为，所以为偶函数，
对于方程，设，则有，
变形可得，方程有两根，
则有两解，
所以函数有三个零点.
故答案为：.
【分析】根据题意为偶函数，且在 R 上有三个零点，找一个符合要求的函数即可.
16．（2022高三上·安阳开学考）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为 .
【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设，则P的轨迹方程为，
令，得曲线与交于，，
令，得曲线与交于，，
因为，所以.
故答案为：．
【分析】 根据题意求出P的轨迹方程，再求出该平行四边形的四个顶点坐标，再结合 曲线围成的图形面积，即可求解出答案.
三、解答题
17．（2022高三上·安阳开学考）2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
第t天 1 2 3 4 5 6 7
交易额y/千万元
参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.
【答案】（1）解：因为，，，，
所以.
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，
从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.
（2）解：因为，，所以，
，所以y关于t的回归方程为，
将代入回归方程得（千万元）亿元，
所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)根据相关系数公式求出r，利用数值对应的意义即可说明交易额y与t的关系 ；
(2)先由最小二乘法求出回归方程， 将代入回归方程，即可预测出下一周的第一天的交易额.
18．（2022高三上·安阳开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若BC边上的高为b-c，求.
【答案】（1）解：由，得，即，∴，∵，∴.
（2）解：∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)直接利用正弦定理和余弦定理的转换关系的应用，求出角B的大小；
(2)利用三角形的面积公式和角的恒等变换的应用，求出 的值.
19．（2022高三上·安阳开学考）在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，.
（1）证明：.
（2）求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，
又平面，所以，
在四边形中，作于M，于N，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，则，所以，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，，
则，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可知，平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质、ED⊥DC可得ED⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得ED⊥BD，作DM⊥AB于M ，CN⊥AB于N，可得四边形ABCD为等腰梯形，求出BD，利用勾股定理得AD⊥BD，再用线面垂直的判定定理和性质定理可证得 ；
(2)以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法计算可得平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．已知数列的首项为1，满足，且，，1成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：由题意得，则，
∴数列为等差数列．
又，∴，即数列的公差为1，
∴，即．
（2）证明：由已知得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)由 ，，1成等差数列 ，可知数列为等差数列，根据即可求得公差，从而确定的通项公式；
(2) 由已知得，根据裂项相消法即可求数列{}的前n项和，从而判断前n项和的范围．
21．已知函数存在两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据极值点的定义可知， 令，则有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；
（2）由（1）可知，由此化简，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.
22．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
（1）求C的方程；
（2）设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，所以.
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.
设，，则，.
设，（），则得直线AM的方程为，
直线BN的方程为，
两个方程相减得，①
因为，
把上式代入①得：，
所以，
因此直线AM与BN的交点在直线上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出 ，，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.
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黑龙江省部分学校2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．{0} B．
C． D．
2．（ ）
A．-2 B．2 C． D．
3．（2022高三上·安阳开学考）已知向量，，若，则（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
4．（2022高三上·安阳开学考）一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．（2022高三上·安阳开学考）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
7．“方程表示椭圆”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·安阳开学考）香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（ ）
A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍
9．（2022高三上·安阳开学考）甲 乙 丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲 乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
10．在正四棱台中，，，则该棱台外接球的表面积为（ ）
A．16π B．20π C．30π D．40π
11．（2022高三上·安阳开学考）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2022
12．（2022高三上·安阳开学考）已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为．有下述四个结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
二、填空题
13．已知为三角形的内角，且，则 .
14．（2022高三上·安阳开学考）已知圆与抛物线的准线相切，则 .
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数： .①；②在R上恰有三个零点.
16．（2022高三上·安阳开学考）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为 .
三、解答题
17．（2022高三上·安阳开学考）2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
第t天 1 2 3 4 5 6 7
交易额y/千万元
参考数据：，，.参考公式：相关系数.在回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；
（2）利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.
18．（2022高三上·安阳开学考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若BC边上的高为b-c，求.
19．（2022高三上·安阳开学考）在多面体中，平面平面ABCD，EDCF是面积为的矩形，，，.
（1）证明：.
（2）求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．已知数列的首项为1，满足，且，，1成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
21．已知函数存在两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值.
22．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
（1）求C的方程；
（2）设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，.
故答案为：D.
【分析】解不等式分别求得集合A，B，由交集定义可得结果.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】.
故答案为：C.
【分析】由复数运算法则直接计算即可.
3．【答案】D
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由，得，则.
故答案为：D．
【分析】 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解出答案.
4．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.
分别取，，的中点F，E，M，
连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.
由正方体性质知，所以平面.
又，所以平面.
又，所以平面.
所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.
故答案为：D.
【分析】 过P， Q， R三点的平面为六边形，可以根据平面的性质公理，先后证明其余三个顶点在P、Q、 R所确定的平面上，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】根据题意可得和是方程的两根且，即，.
故，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：A．
【分析】根据三个“二次”的关系可知，和是方程的两根，由韦达定理求出，，，由基本不等式即可求出其最小值．
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知：，最小正周期，，，
，，解得：，
又，，；
将图象向右平移个单位长度可得：；
将横坐标变为原来的2倍得：.
故答案为：A.
【分析】根据图象求出A、和φ，即可求函数f (x)的解析式，再结合平移，伸缩的法则，求出g(x)，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】若方程表示椭圆，
则解得或．
对比选项，A符合题意.
故答案为：A．
【分析】由方程表示椭圆则可得到或，再由充分条件的定义即可选出答案.
8．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍.
故答案为：C．
【分析】 根据已知条件，结合对数的公式，即可求解出答案 .
9．【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】丙在正中间（4号位）；
甲 乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲 乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为.
故答案为：B.
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人，可得答案.
10．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；
，，，又，
，
当位于线段上时，
设，则，解得：（舍）；
当位于线段的延长线上时，
设，则，解得：；
该棱台的外接球表面积.
故答案为：D.
【分析】设所求外接球球心为，则在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，设，利用勾股定理可构造方程组求得，代入球的表面积公式即可求得结果.
11．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，，所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】 设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等，即可求解k值.
12．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】被整除的余数有3种情况，分别为0、1、2，
被整除的概率为，被整除余数分别为1、2的概率均为，
所以，，
所以，，且，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，故.
故，，，
当且为偶数时，，
所以，①④错，②③对.
故答案为：C.
【分析】 由已知可得，利用递推关系求出 ，逐项分析判断，可得答案.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由，可得，
故.
故答案为：．
【分析】根据二倍角公式可由，可得，再将化成齐次式即可解出．
14．【答案】4
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，
所以，解得.
故答案为：4
【分析】 求得圆C的圆心和半径，抛物线的准线方程，运用直线和圆相切的条件，解方程可得所求m的值.
15．【答案】(答案不唯一)
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的零点
【解析】【解答】因为，所以为偶函数，
对于方程，设，则有，
变形可得，方程有两根，
则有两解，
所以函数有三个零点.
故答案为：.
【分析】根据题意为偶函数，且在 R 上有三个零点，找一个符合要求的函数即可.
16．【答案】
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设，则P的轨迹方程为，
令，得曲线与交于，，
令，得曲线与交于，，
因为，所以.
故答案为：．
【分析】 根据题意求出P的轨迹方程，再求出该平行四边形的四个顶点坐标，再结合 曲线围成的图形面积，即可求解出答案.
17．【答案】（1）解：因为，，，，
所以.
因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关，
从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系.
（2）解：因为，，所以，
，所以y关于t的回归方程为，
将代入回归方程得（千万元）亿元，
所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】 (1)根据相关系数公式求出r，利用数值对应的意义即可说明交易额y与t的关系 ；
(2)先由最小二乘法求出回归方程， 将代入回归方程，即可预测出下一周的第一天的交易额.
18．【答案】（1）解：由，得，即，∴，∵，∴.
（2）解：∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式；余弦定理
【解析】【分析】 (1)直接利用正弦定理和余弦定理的转换关系的应用，求出角B的大小；
(2)利用三角形的面积公式和角的恒等变换的应用，求出 的值.
19．【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，
又平面，所以，
在四边形中，作于M，于N，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，则，所以，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，，
则，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可知，平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质、ED⊥DC可得ED⊥平面ABCD，由线面垂直的性质得ED⊥BD，作DM⊥AB于M ，CN⊥AB于N，可得四边形ABCD为等腰梯形，求出BD，利用勾股定理得AD⊥BD，再用线面垂直的判定定理和性质定理可证得 ；
(2)以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EAB、平面EDCF的法向量，由二面角的向量求法计算可得平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.
20．【答案】（1）解：由题意得，则，
∴数列为等差数列．
又，∴，即数列的公差为1，
∴，即．
（2）证明：由已知得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】(1)由 ，，1成等差数列 ，可知数列为等差数列，根据即可求得公差，从而确定的通项公式；
(2) 由已知得，根据裂项相消法即可求数列{}的前n项和，从而判断前n项和的范围．
21．【答案】（1）解：由题意知：定义域为，；
令，则有两个不等正根，
，解得：，实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：，是的两根，则；
；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
，
即的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据极值点的定义可知， 令，则有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；
（2）由（1）可知，由此化简，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.
22．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，所以.
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）证明：联立方程组消去y，并整理得.
设，，则，.
设，（），则得直线AM的方程为，
直线BN的方程为，
两个方程相减得，①
因为，
把上式代入①得：，
所以，
因此直线AM与BN的交点在直线上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据渐近线方程得到，结合点到直线距离公式求出，利用求出 ，，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM与BN的方程，联立后求得交点横坐标满足.
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