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浙江省A9协作体2022-2023学年高三上学期数学暑假返校联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．{4}
2．（2022高三上·浙江开学考）已知是虚数单位，复数满足，则的模为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022高三上·浙江开学考）若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4．（2022高三上·浙江开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·浙江开学考）某学校食堂为了解学生对食堂的满意度，从高一、高二两个年级分别随机调查了100名学生，根据学生对食堂的满意度评分，分别得到高一和高二学生满意度评分的频率分布直方图.
若高一和高二学生的满意度评分中位数分别为，平均数分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·浙江开学考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·浙江开学考）在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·浙江开学考）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）已知多项式，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点是该函数图象的一个对称中心
B．直线是该函数图象的一条对称轴
C．该函数在上有两个零点
D．该函数在上有三个极值点
11．（2022高三上·浙江开学考）如图，在三棱锥中，平面为垂足点，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B．若的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值
C．若的长为定值，则的长也为定值
D．若的长为定值，则的值也为定值
12．（2022高三上·浙江开学考）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则
D．若直线与与拋物线都相切，则
三、填空题
13．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的前项和，则 .
14．（2022高三上·浙江开学考）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
15．（2022高三上·浙江开学考）为了深入贯彻党中央“动态清理”的疫情防控要求，现要选派5名志愿者到四个核酸检测点，每个检测点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点，则不同的分派方案有 种.
16．（2022高三上·浙江开学考）已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
18．（2022高三上·浙江开学考）在中，角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题：（注：如果两个条件都解答，按第一个解答计分）
（1）求角大小；
（2）若且，求的面积.
19．（2022高三上·浙江开学考）某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲 乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.
（1）三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
（2）求班级获得决赛资格的概率.
20．（2022高三上·浙江开学考）如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.
21．（2022高三上·浙江开学考）已知直线与双曲线交于、两个不同的点.
（1）求的取值范围；
（2）若为双曲线的左顶点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且直线、分别与轴交于、两点，当时，求的值.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设的导函数为，若存在，使得成立，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由解得，由解得，所以，，.
故答案为：C.
【分析】化简集合A，B，由交集运算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意得，即，
故 ，
故答案为：B
【分析】化简z得到其代数形式，再由模长公式即可求解。
3．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可知直线过圆心，所以，，解得.
故答案为：A.
【分析】由对称性确定圆心在直线l上，即可解决问题。
4．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数、对数函数的性质知：，，，
所以．
故答案为：D．
【分析】借助指对数函数的性质，及中间量0和1，即可解决问题。
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由频率分布直方图，进行数据分析可得：
.
.
所以满意度评分中位数.
.
所以满意度评分平均数.
故答案为：C
【分析】由中位数和平均数的概念直接求解即可。
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，且
即.
所以
整理得：
又，所以，即.
故答案为：A.
【分析】由代入已知条件可得，结合 ，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】异面直线；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作于，则，，从而，
而平面，因此有平面，
过作交于，过作于，则，，
由正方体性质易知为二面角的平面角，即，
，
平面，则，同理，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以是矩形，，
由平面知，，
由，得，
即，均为锐角，所以，
与重合时，三角相等．
故答案为：B．
【分析】作于，易证平面，过作交于，过作于，可得，，由正方体性质易可得，，再由平面，推证平面得进而可比较大小。
8．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：由为偶函数知，，即，
即函数关于对称，则，
由是奇函数知，，即函数关于点对称，
则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则；
又
所以，则，即
所以，即导函数关于点对称，且.
由，即导函数的周期是4，
则；
所以.
故答案为：D.
【分析】由 为偶函数，为奇函数 可判断函数周期为4，再由可得进而确定导函数的周期是4，即可求解。
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，
取可得，，A符合题意；
取可得，，C不符合题意；
取可得，
又，
所以，，，，
所以，B符合题意，
，D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】 通过赋值取，取，取可判断A，B，D，通过通项公式可判断C.
10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】时，，，，因此点是该函数图象的一个对称中心，直线不是该函数图象的对称轴，A符合题意，B不符合题意；
，，
时，，所以或，即或，C符合题意；
此时只有或，即或为极值点，只有2个，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】由可判断A，B，由时，，可判断C；由或，可判断D不符合题意．
11．【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：对于A，将三棱锥补形成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
所以为外接球的直径，所以该三棱锥外接球的半径也为定值，故正确；
对于B，因为平面平面所以
因为平面所以平面
因为平面所以，
假设内切球的球心为第一种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，
即，
，
解得；
第二种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，
即，
解得，综上所述，当的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故错误；
对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
假设则，则，
因为在上，所以设，则
因为，所以，
所以，解得，
所以
所以，，
则，，
所以当的长为定值时，的长也为定值；当的长为定值，则的值也为定值，C，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】对于A，将三棱锥补形成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可判断；
对于B，先平面进而得到，假设内切球的球心为第一种情况不妨假设，此时内切球的半径为由，
可得；第二种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，可得，即可判断；
对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，假设得到则，因为在上，所以设，则结合向量知识即可判断。
12．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设方程为，由得，
，
，，
A．由得得，所以直线过点，A符合题意；
B．，
由，当时，，，B不符合题意；
C．，，，
，即，所以，，，C符合题意；
D．设（或）方程为，
由上面推理过程得，，
代入得，，
不妨设，，则，所以直线过点，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】设方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，，
A．由得得，即可判断；
B．由弦长公式即可判断；
C．，，，由题意得到，即可判断C；
D．设（或）方程为，由判别式得到，进而得到，，即可判断D．
13．【答案】11
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列的前项和，所以；
故答案为：11
【分析】由即可求解。
14．【答案】
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由于随机变量服从正态分布，故，
因为，所以，
故，
故答案为：
【分析】易知，由正太分布的对称性可得即可求解。
15．【答案】162
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】派5名志愿者到四个核酸检测点，每个检测点至少分配1人，
若志愿者甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点，
则必有两人一起到某个检测点，其余人独自到一个检测点；
则若甲独自到除A之外的核酸检测点，那么其余四人将有两人到一个核酸检测点，
有种分派方法，
若甲和除乙之外的一人一起到中的一处检测点，则有种分派方法，
故共有种不同的分派方案 ，
故答案为：162
【分析】分甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点和甲和除乙之外的一人一起到中的一处检测点两类情况讨论即可求解.
16．【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；
当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，
解得，
故；
当时，要使存在最小值，
还需：，因为，所以无解
综上的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分三类情况讨论：
（1）当易判断无最小值，
（2）当，可得在上单调递减，，再结合在上的最小值为，可得，求解即可，
(3)当时，要使存在最小值，还需：，此式无解，进而求出结果.
17．【答案】（1）解：设数列的公差为，则，
由题意可得：
解得：
∴数列的通项公式为；
（2）解：由(1)，
，
设数列的前项和为，
所以数列的前2022项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由等差数列通项公式及等比中项列出方程 即可解决问题；
（2）由（1）可得 ， 即可求 数列的前2022项和 。
18．【答案】（1）解：若选①：，由余弦定理得，
所以，又因为，
所以.
若选②：根据正弦定理边化角得
（2）解：由正弦定理边化角得，
因为，所以，
又因为
所以
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选① ，由余弦定理可得 即可求解； 选② ，由正弦定理及两角和的正弦化简可得 ，即可求解；
（2）由正弦定理化简可得 从而求得B，再由正弦定理求得a，即可求解。
19．【答案】（1）解：由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30.
；
；
；
；
所以分布列为：
0 10 20 30
分.
（2）解：记为甲同学的累计得分
.
而；
；
所以班级获得决赛资格的概率：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30. 结合互斥事件和事件及独立事件同时发生概率求得X取每一个值对应概率，即可求解；
（2） 记为甲同学的累计得分 ，由 . 及；；即可求解.
20．【答案】（1）证明：连接交于点，
，
则，平面，
平面，
；
（2）解：解法1：由（1）知，，
如图建系，，
设，则.
所以.
设平面的法向量为，
所以.
令，则，
又与平面所成角的大小为，
所以，
整理得：，
解得.
解法2：由（1）知，，
过作平面，
且平面，
平面，
则就是与平面所成角.
设，则，
，则，
解得.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 连接交于点 ，易证 平面即可求证；
（2）建立如图空间直角坐标系， 设 求得 的方向向量与平面 的法向量，由夹角公式即可求解。
21．【答案】（1）解：联立方程组消整理得，
依题意可得，解得且.
（2）解：设、坐标分别为，，，由（1）知，
直线的方程为，
令可得点坐标为，
同理点坐标为，
由，所以，所以，
所以，
整理得，即，
解得（舍去）或，.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由判别式>0，即可求解；
（2） 设、坐标分别为，， 由（1）韦达定理可得 ， 进而得到 ， 同理得到 ，再由 可得方程 即可求解.
22．【答案】（1）解：由题意可得的定义域为，，
故，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减.
（2）解：在上为减函数，
要证，即证，
只要证，
，
又，
即，即证
即证，
令，
，
在为增函数，，
，即，
即得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）求出 ，由 和 求解即可；
（2）由 在上为减函数， 问题可转化成证 ， 进而转化成证 ，令 ， 通过求导确定其单调性即可求解.
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浙江省A9协作体2022-2023学年高三上学期数学暑假返校联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．{4}
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由解得，由解得，所以，，.
故答案为：C.
【分析】化简集合A，B，由交集运算即可求解。
2．（2022高三上·浙江开学考）已知是虚数单位，复数满足，则的模为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数求模
【解析】【解答】由题意得，即，
故 ，
故答案为：B
【分析】化简z得到其代数形式，再由模长公式即可求解。
3．（2022高三上·浙江开学考）若圆（为圆的半径）关于直线对称，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意可知直线过圆心，所以，，解得.
故答案为：A.
【分析】由对称性确定圆心在直线l上，即可解决问题。
4．（2022高三上·浙江开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数值大小的比较；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数、对数函数的性质知：，，，
所以．
故答案为：D．
【分析】借助指对数函数的性质，及中间量0和1，即可解决问题。
5．（2022高三上·浙江开学考）某学校食堂为了解学生对食堂的满意度，从高一、高二两个年级分别随机调查了100名学生，根据学生对食堂的满意度评分，分别得到高一和高二学生满意度评分的频率分布直方图.
若高一和高二学生的满意度评分中位数分别为，平均数分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】由频率分布直方图，进行数据分析可得：
.
.
所以满意度评分中位数.
.
所以满意度评分平均数.
故答案为：C
【分析】由中位数和平均数的概念直接求解即可。
6．（2022高三上·浙江开学考）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，且
即.
所以
整理得：
又，所以，即.
故答案为：A.
【分析】由代入已知条件可得，结合 ，即可求解.
7．（2022高三上·浙江开学考）在正方体中，是棱上的点且，是棱上的点，记与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】作于，则，，从而，
而平面，因此有平面，
过作交于，过作于，则，，
由正方体性质易知为二面角的平面角，即，
，
平面，则，同理，
，平面，所以平面，
又平面，所以，所以是矩形，，
由平面知，，
由，得，
即，均为锐角，所以，
与重合时，三角相等．
故答案为：B．
【分析】作于，易证平面，过作交于，过作于，可得，，由正方体性质易可得，，再由平面，推证平面得进而可比较大小。
8．（2022高三上·浙江开学考）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：由为偶函数知，，即，
即函数关于对称，则，
由是奇函数知，，即函数关于点对称，
则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则；
又
所以，则，即
所以，即导函数关于点对称，且.
由，即导函数的周期是4，
则；
所以.
故答案为：D.
【分析】由 为偶函数，为奇函数 可判断函数周期为4，再由可得进而确定导函数的周期是4，即可求解。
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）已知多项式，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，
取可得，，A符合题意；
取可得，，C不符合题意；
取可得，
又，
所以，，，，
所以，B符合题意，
，D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】 通过赋值取，取，取可判断A，B，D，通过通项公式可判断C.
10．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．点是该函数图象的一个对称中心
B．直线是该函数图象的一条对称轴
C．该函数在上有两个零点
D．该函数在上有三个极值点
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】时，，，，因此点是该函数图象的一个对称中心，直线不是该函数图象的对称轴，A符合题意，B不符合题意；
，，
时，，所以或，即或，C符合题意；
此时只有或，即或为极值点，只有2个，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】由可判断A，B，由时，，可判断C；由或，可判断D不符合题意．
11．（2022高三上·浙江开学考）如图，在三棱锥中，平面为垂足点，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B．若的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值
C．若的长为定值，则的长也为定值
D．若的长为定值，则的值也为定值
【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：对于A，将三棱锥补形成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
所以为外接球的直径，所以该三棱锥外接球的半径也为定值，故正确；
对于B，因为平面平面所以
因为平面所以平面
因为平面所以，
假设内切球的球心为第一种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，
即，
，
解得；
第二种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，
即，
解得，综上所述，当的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故错误；
对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
假设则，则，
因为在上，所以设，则
因为，所以，
所以，解得，
所以
所以，，
则，，
所以当的长为定值时，的长也为定值；当的长为定值，则的值也为定值，C，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】对于A，将三棱锥补形成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可判断；
对于B，先平面进而得到，假设内切球的球心为第一种情况不妨假设，此时内切球的半径为由，
可得；第二种情况不妨假设，此时内切球的半径为根据，可得，即可判断；
对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，假设得到则，因为在上，所以设，则结合向量知识即可判断。
12．（2022高三上·浙江开学考）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则
D．若直线与与拋物线都相切，则
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设方程为，由得，
，
，，
A．由得得，所以直线过点，A符合题意；
B．，
由，当时，，，B不符合题意；
C．，，，
，即，所以，，，C符合题意；
D．设（或）方程为，
由上面推理过程得，，
代入得，，
不妨设，，则，所以直线过点，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】设方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理可得，，
A．由得得，即可判断；
B．由弦长公式即可判断；
C．，，，由题意得到，即可判断C；
D．设（或）方程为，由判别式得到，进而得到，，即可判断D．
三、填空题
13．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的前项和，则 .
【答案】11
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列的前项和，所以；
故答案为：11
【分析】由即可求解。
14．（2022高三上·浙江开学考）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
【答案】
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由于随机变量服从正态分布，故，
因为，所以，
故，
故答案为：
【分析】易知，由正太分布的对称性可得即可求解。
15．（2022高三上·浙江开学考）为了深入贯彻党中央“动态清理”的疫情防控要求，现要选派5名志愿者到四个核酸检测点，每个检测点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点，则不同的分派方案有 种.
【答案】162
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】派5名志愿者到四个核酸检测点，每个检测点至少分配1人，
若志愿者甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点，
则必有两人一起到某个检测点，其余人独自到一个检测点；
则若甲独自到除A之外的核酸检测点，那么其余四人将有两人到一个核酸检测点，
有种分派方法，
若甲和除乙之外的一人一起到中的一处检测点，则有种分派方法，
故共有种不同的分派方案 ，
故答案为：162
【分析】分甲要求不到A检测点，且志愿者甲乙不到同一检测点和甲和除乙之外的一人一起到中的一处检测点两类情况讨论即可求解.
16．（2022高三上·浙江开学考）已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；
当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，
解得，
故；
当时，要使存在最小值，
还需：，因为，所以无解
综上的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分三类情况讨论：
（1）当易判断无最小值，
（2）当，可得在上单调递减，，再结合在上的最小值为，可得，求解即可，
(3)当时，要使存在最小值，还需：，此式无解，进而求出结果.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知数列为公差不为0的等差数列，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，令，求数列的前2022项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，则，
由题意可得：
解得：
∴数列的通项公式为；
（2）解：由(1)，
，
设数列的前项和为，
所以数列的前2022项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由等差数列通项公式及等比中项列出方程 即可解决问题；
（2）由（1）可得 ， 即可求 数列的前2022项和 。
18．（2022高三上·浙江开学考）在中，角的对边分别为为的面积，请在①；②这两个条件中任选一个，完成下列问题：（注：如果两个条件都解答，按第一个解答计分）
（1）求角大小；
（2）若且，求的面积.
【答案】（1）解：若选①：，由余弦定理得，
所以，又因为，
所以.
若选②：根据正弦定理边化角得
（2）解：由正弦定理边化角得，
因为，所以，
又因为
所以
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选① ，由余弦定理可得 即可求解； 选② ，由正弦定理及两角和的正弦化简可得 ，即可求解；
（2）由正弦定理化简可得 从而求得B，再由正弦定理求得a，即可求解。
19．（2022高三上·浙江开学考）某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲 乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为，乙同学三题能回答正确的概率依次为、、，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.
（1）三题答完结束后，记为乙同学的累计得分，求的分布列和期望；
（2）求班级获得决赛资格的概率.
【答案】（1）解：由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30.
；
；
；
；
所以分布列为：
0 10 20 30
分.
（2）解：记为甲同学的累计得分
.
而；
；
所以班级获得决赛资格的概率：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 由题意可得：的可能取值为：0，10，20，30. 结合互斥事件和事件及独立事件同时发生概率求得X取每一个值对应概率，即可求解；
（2） 记为甲同学的累计得分 ，由 . 及；；即可求解.
20．（2022高三上·浙江开学考）如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.
【答案】（1）证明：连接交于点，
，
则，平面，
平面，
；
（2）解：解法1：由（1）知，，
如图建系，，
设，则.
所以.
设平面的法向量为，
所以.
令，则，
又与平面所成角的大小为，
所以，
整理得：，
解得.
解法2：由（1）知，，
过作平面，
且平面，
平面，
则就是与平面所成角.
设，则，
，则，
解得.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 连接交于点 ，易证 平面即可求证；
（2）建立如图空间直角坐标系， 设 求得 的方向向量与平面 的法向量，由夹角公式即可求解。
21．（2022高三上·浙江开学考）已知直线与双曲线交于、两个不同的点.
（1）求的取值范围；
（2）若为双曲线的左顶点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且直线、分别与轴交于、两点，当时，求的值.
【答案】（1）解：联立方程组消整理得，
依题意可得，解得且.
（2）解：设、坐标分别为，，，由（1）知，
直线的方程为，
令可得点坐标为，
同理点坐标为，
由，所以，所以，
所以，
整理得，即，
解得（舍去）或，.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由判别式>0，即可求解；
（2） 设、坐标分别为，， 由（1）韦达定理可得 ， 进而得到 ， 同理得到 ，再由 可得方程 即可求解.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设的导函数为，若存在，使得成立，求证：.
【答案】（1）解：由题意可得的定义域为，，
故，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减.
（2）解：在上为减函数，
要证，即证，
只要证，
，
又，
即，即证
即证，
令，
，
在为增函数，，
，即，
即得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）求出 ，由 和 求解即可；
（2）由 在上为减函数， 问题可转化成证 ， 进而转化成证 ，令 ， 通过求导确定其单调性即可求解.
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