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浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·浙江开学考）已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高三上·浙江开学考）设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·浙江开学考）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·浙江开学考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022高三上·浙江开学考）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·浙江开学考）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·浙江开学考）若不等式（其中为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，则（ ）
A．的图象可由函数的图象向右平移个单位
B．在上递减
C．的图象关于直线对称
D．当时，的取值范围是
10．（2022高三上·浙江开学考）甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示事件“取出的是红球” “取出的是白球” “取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（ ）
A．事件是两两互斥的事件 B．事件与事件相互独立
C． D．
11．（2022高三上·浙江开学考）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．
D．
12．（2022高三上·浙江开学考）如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ）
A．平面
B．点在某个圆上运动
C．存在某个位置，使
D．线段的长的取值范围是
三、填空题
13．（2022高三上·浙江开学考）的展开式的二项式系数的和是 .（用数字作答）
14．（2022高三上·浙江开学考）在中，，若，则 .
15．（2022高三上·浙江开学考）如图，抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点在轴上方），则 .
16．（2022高三上·浙江开学考）已知实数满足，则的最小值是 .
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.
（1）求与的通项公式；
（2）记，求的前项和为.
19．（2022高三上·浙江开学考）为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常.
附：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（1）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？
（2）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量表示“3人视力正常”的人数，试求的分布列和数学期望.
20．（2022高三上·浙江开学考）如图，在三棱柱中，，点为的中点.
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022高三上·浙江开学考）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
（1）若点是的中点，求的值；
（2）求面积的最小值.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，其中为自然对数的底数，约为2.71828.
（1）求函数的极小值；
（2）若实数满足且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题得或，
所以.
故答案为：C
【分析】化简集合B，由集合交集运算即可求解。
2．【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由，
所以在复平面对应的点为，在第一象限.
故答案为：A
【分析】化简复数，得到其代数形式，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题，所以的否定为：.
故答案为：C.
【分析】由全程量词命题的否定为存在量词命题，即可求解。
4．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】当时，，
故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即
故答案为：B
【分析】由，借助数列单调性得到即可求解。
5．【答案】A
【知识点】充分条件；必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若时，则，因此，
若时，比如，但不满足，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】由时，易证，而当，满足，但不满足，即可求解。
6．【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意可得，，，，代入，
，解得，
故，解得．
故当，，，时，
将其代入得，解得，
故答案为：B
【分析】由题意可得进而求得，再将数据代入即可求解。
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以，
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故答案为：D.
【分析】如图，，得到，，结合椭圆的定义得到，进而得到，，，，再结合椭圆的定义得到，进而说明，得到即可求解。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由得，
记，，由于，所以，
故对一切正实数都成立等价于对都成立.
，令
在同一直角坐标系中画出的图象，
由图可知：存在满足，且当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，故
因为，故，
由于，故，
因此，解得，
故答案为：B
【分析】由已知条件可得，记，构造，由于，所以，问题可得等价于对都成立.，令在同一直角坐标系中画出的图象，如图可确定存在满足，且当时，，当时，，从而确定的单调性及最值，进而可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性
【解析】【解答】由得，
对于A：向右平移得到，故错误；
对于B：当时，，故在上递减，B符合题意；
对于C：，故是的对称轴；C对；
对于D：当时，，当时，取最大值2，当时，取最小值，故值域为，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由辅助角公式得到，再结合正弦函数的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可得，，，，，
事件是两两互斥的事件，A符合题意，
，故事件与事件不是相互独立，B不符合题意，
，C选项正确，
，D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】由题意可得，，，，，进而逐项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由已知，，，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，
因为，所以在上单调递增，A不符合题意；
因为，，所以，
所以，
即，又因为，
所以在上单调递减，B符合题意；
因为时，恒成立，
所以令，代入上式得，即，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由已知条件可得，又，得到，
因为，所以，再结合的奇偶性可得，进而可判断A；
再通过，
得到，即可判断B；
令，代入即可判断C，D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图所示，在上取一点，令，连接，
在矩形中，且，又因为，，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，A符合题意；
由，，，可得，
由，可知，，而，
由余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，故答案为：项B符合题意；
取的中点，连接、，在中，，
所以，假设成立，平面，所以平面，又因为平面，所以，
而，在中，，，，所以，故不成立，所以假设不成立，该C不符合题意；
在上取一点，令，
在翻折过程中， 线段的最大值是与点重合，此时，
线段的最小值是与点重合，此时，又因为点不在平面内，
所以线段的长的取值范围是，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】如图所示，在上取一点，令，连接，在矩形中，所以且，从而得到，可说明平面，结合，得到平面，由面面平行判定定理得到面平面，可判断A；
易判断，，，结合余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，可判断B；
取的中点，连接、，由，可得，假设成立，得到平面，有，又，故不成立，所以假设不成立，可判断C；
在上取一点，令，在翻折过程中， 由与点重合，此时，（最大）
由与点重合，此时，（最小）可判断D.
13．【答案】1024
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由于，所以二项式系数的和为，
故答案为：1024
【分析】由二项式系数和公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】，
所以
.
故答案为：
【分析】由，代入 即可求解.
15．【答案】3
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意可知，直线方程为：，
联立方程，解得，
由于在轴上方，故可得，
因此，
故答案为：3
【分析】易得直线方程为：，联立抛物线方程可得M，N两点坐标，即可求解。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】令则，
由得，两边平方得，
化简得：，
令，则（※）有正的实数根，
因为当时，不成立，
，
则满足：，且，
即，且
解得，
当时，，此时（※）式的根为，即，，故的最小值为
故答案为：
【分析】令则，代入已知条件化简可得，令，问题可转换成有正实根，通过及韦达定理，可得，进而验证，即可求解.
17．【答案】（1）解：因为，由余弦定理得，化简得，
所以，结合，得；
（2）解：设，根据，
解得(负根舍去)，
又，所以.
【知识点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理可得 ，即可求解；
（2） 设 ，由求得x，再由 两边平方即可求解.
18．【答案】（1）解：时，，
又，
所以是首项是1，公比是的等比数列，所以；
设的公差为，则由，得
.
（2）解：由（1）知，
所以
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由 及 ，即可判断的等比数列 即可求解，再由等差数列的基本量运算即可求 ；
（2）由错位相减法即可求解.
19．【答案】（1）解：由已知得150名学生男女 视力正常与否的列联表为：
视力正常 视力不正常 总计
男生 60 40 100
女生 40 10 50
总计 100 50 150
所以，
所以没有99%的把握认为视力正常与性别有关.
（2）解：由已知得该小学男 女生视力正常的概率分别为.
的取值有，
且，
，
即的分布列为
0 1 2 3
从而的均值.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由 计算公式即可求解；
（2）易判断 小学男 女生视力正常的概率分别为. 及 的取值有， 进而由互斥事件和事件、独立重复事件概率计算公式求得概率，即可求解.
20．【答案】（1）解：取中点，连.
因为，所以，
又平面，
所以平面，
因为，所以，
所以.
（2）解：以为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系，
则，
因为轴，故可设
根据且可得
因为，所以，
因为，所以，故所以，
设平面的法向量，
所以所以，取，则，
所以平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 取中点，连 ，易得 可得 平面， 从而得到 ， 即可求解；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得直线AN的方向向量， 平面 的法向量，代入夹角公式即可求解.
21．【答案】（1）解：设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）解：与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设直线方程与双曲线方程联立 得到 ， 再联立渐近线方程，求得M，N两点坐标，即可求解；
（2） 与联立 得到 ，从而得到，，再由到直线的距离，得到 ， ，再令 得到 ，即可求解.
22．【答案】（1）解：由题意可知，.
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增.
所以当时，函数取得极小值为.
（2）解：若，则显然成立；
若，令，因为.
当时，单调递增；当时，单调递减；
，
令，
则
.
令，
则.
令，则，
所以，即，
所以在时递增，从而，即，
所以在时递减，所以，
从而，
所以，
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1) 求得.通过，，即可确定函数单调区间，即可求解；
(2)当 ，则显然成立； 再讨论 ，令 ，求得 ， 令 ，求得
.再令 ， 求导 .再令，求得，进而得到依次得到 ， ， 从而说明 ，进而可求证.
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浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题得或，
所以.
故答案为：C
【分析】化简集合B，由集合交集运算即可求解。
2．（2022高三上·浙江开学考）已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由，
所以在复平面对应的点为，在第一象限.
故答案为：A
【分析】化简复数，得到其代数形式，即可求解.
3．（2022高三上·浙江开学考）设命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题，所以的否定为：.
故答案为：C.
【分析】由全程量词命题的否定为存在量词命题，即可求解。
4．（2022高三上·浙江开学考）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】当时，，
故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即
故答案为：B
【分析】由，借助数列单调性得到即可求解。
5．（2022高三上·浙江开学考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】充分条件；必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若时，则，因此，
若时，比如，但不满足，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】由时，易证，而当，满足，但不满足，即可求解。
6．（2022高三上·浙江开学考）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意可得，，，，代入，
，解得，
故，解得．
故当，，，时，
将其代入得，解得，
故答案为：B
【分析】由题意可得进而求得，再将数据代入即可求解。
7．（2022高三上·浙江开学考）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以，
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故答案为：D.
【分析】如图，，得到，，结合椭圆的定义得到，进而得到，，，，再结合椭圆的定义得到，进而说明，得到即可求解。
8．（2022高三上·浙江开学考）若不等式（其中为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由得，
记，，由于，所以，
故对一切正实数都成立等价于对都成立.
，令
在同一直角坐标系中画出的图象，
由图可知：存在满足，且当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，故
因为，故，
由于，故，
因此，解得，
故答案为：B
【分析】由已知条件可得，记，构造，由于，所以，问题可得等价于对都成立.，令在同一直角坐标系中画出的图象，如图可确定存在满足，且当时，，当时，，从而确定的单调性及最值，进而可求解.
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，则（ ）
A．的图象可由函数的图象向右平移个单位
B．在上递减
C．的图象关于直线对称
D．当时，的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性
【解析】【解答】由得，
对于A：向右平移得到，故错误；
对于B：当时，，故在上递减，B符合题意；
对于C：，故是的对称轴；C对；
对于D：当时，，当时，取最大值2，当时，取最小值，故值域为，D符合题意；
故答案为：BCD
【分析】由辅助角公式得到，再结合正弦函数的性质逐项判断即可.
10．（2022高三上·浙江开学考）甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示事件“取出的是红球” “取出的是白球” “取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（ ）
A．事件是两两互斥的事件 B．事件与事件相互独立
C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可得，，，，，
事件是两两互斥的事件，A符合题意，
，故事件与事件不是相互独立，B不符合题意，
，C选项正确，
，D不符合题意，
故答案为：AC
【分析】由题意可得，，，，，进而逐项判断即可.
11．（2022高三上·浙江开学考）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．
D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】由已知，，，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，
因为，所以在上单调递增，A不符合题意；
因为，，所以，
所以，
即，又因为，
所以在上单调递减，B符合题意；
因为时，恒成立，
所以令，代入上式得，即，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由已知条件可得，又，得到，
因为，所以，再结合的奇偶性可得，进而可判断A；
再通过，
得到，即可判断B；
令，代入即可判断C，D.
12．（2022高三上·浙江开学考）如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ）
A．平面
B．点在某个圆上运动
C．存在某个位置，使
D．线段的长的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】如图所示，在上取一点，令，连接，
在矩形中，且，又因为，，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，A符合题意；
由，，，可得，
由，可知，，而，
由余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，故答案为：项B符合题意；
取的中点，连接、，在中，，
所以，假设成立，平面，所以平面，又因为平面，所以，
而，在中，，，，所以，故不成立，所以假设不成立，该C不符合题意；
在上取一点，令，
在翻折过程中， 线段的最大值是与点重合，此时，
线段的最小值是与点重合，此时，又因为点不在平面内，
所以线段的长的取值范围是，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】如图所示，在上取一点，令，连接，在矩形中，所以且，从而得到，可说明平面，结合，得到平面，由面面平行判定定理得到面平面，可判断A；
易判断，，，结合余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，可判断B；
取的中点，连接、，由，可得，假设成立，得到平面，有，又，故不成立，所以假设不成立，可判断C；
在上取一点，令，在翻折过程中， 由与点重合，此时，（最大）
由与点重合，此时，（最小）可判断D.
三、填空题
13．（2022高三上·浙江开学考）的展开式的二项式系数的和是 .（用数字作答）
【答案】1024
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由于，所以二项式系数的和为，
故答案为：1024
【分析】由二项式系数和公式即可求解.
14．（2022高三上·浙江开学考）在中，，若，则 .
【答案】
【知识点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】，
所以
.
故答案为：
【分析】由，代入 即可求解.
15．（2022高三上·浙江开学考）如图，抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点在轴上方），则 .
【答案】3
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意可知，直线方程为：，
联立方程，解得，
由于在轴上方，故可得，
因此，
故答案为：3
【分析】易得直线方程为：，联立抛物线方程可得M，N两点坐标，即可求解。
16．（2022高三上·浙江开学考）已知实数满足，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】令则，
由得，两边平方得，
化简得：，
令，则（※）有正的实数根，
因为当时，不成立，
，
则满足：，且，
即，且
解得，
当时，，此时（※）式的根为，即，，故的最小值为
故答案为：
【分析】令则，代入已知条件化简可得，令，问题可转换成有正实根，通过及韦达定理，可得，进而验证，即可求解.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
【答案】（1）解：因为，由余弦定理得，化简得，
所以，结合，得；
（2）解：设，根据，
解得(负根舍去)，
又，所以.
【知识点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理可得 ，即可求解；
（2） 设 ，由求得x，再由 两边平方即可求解.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.
（1）求与的通项公式；
（2）记，求的前项和为.
【答案】（1）解：时，，
又，
所以是首项是1，公比是的等比数列，所以；
设的公差为，则由，得
.
（2）解：由（1）知，
所以
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由 及 ，即可判断的等比数列 即可求解，再由等差数列的基本量运算即可求 ；
（2）由错位相减法即可求解.
19．（2022高三上·浙江开学考）为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常.
附：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（1）是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？
（2）如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量表示“3人视力正常”的人数，试求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由已知得150名学生男女 视力正常与否的列联表为：
视力正常 视力不正常 总计
男生 60 40 100
女生 40 10 50
总计 100 50 150
所以，
所以没有99%的把握认为视力正常与性别有关.
（2）解：由已知得该小学男 女生视力正常的概率分别为.
的取值有，
且，
，
即的分布列为
0 1 2 3
从而的均值.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由 计算公式即可求解；
（2）易判断 小学男 女生视力正常的概率分别为. 及 的取值有， 进而由互斥事件和事件、独立重复事件概率计算公式求得概率，即可求解.
20．（2022高三上·浙江开学考）如图，在三棱柱中，，点为的中点.
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：取中点，连.
因为，所以，
又平面，
所以平面，
因为，所以，
所以.
（2）解：以为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系，
则，
因为轴，故可设
根据且可得
因为，所以，
因为，所以，故所以，
设平面的法向量，
所以所以，取，则，
所以平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 取中点，连 ，易得 可得 平面， 从而得到 ， 即可求解；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得直线AN的方向向量， 平面 的法向量，代入夹角公式即可求解.
21．（2022高三上·浙江开学考）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
（1）若点是的中点，求的值；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）解：设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）解：与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设直线方程与双曲线方程联立 得到 ， 再联立渐近线方程，求得M，N两点坐标，即可求解；
（2） 与联立 得到 ，从而得到，，再由到直线的距离，得到 ， ，再令 得到 ，即可求解.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，其中为自然对数的底数，约为2.71828.
（1）求函数的极小值；
（2）若实数满足且，证明：.
【答案】（1）解：由题意可知，.
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增.
所以当时，函数取得极小值为.
（2）解：若，则显然成立；
若，令，因为.
当时，单调递增；当时，单调递减；
，
令，
则
.
令，
则.
令，则，
所以，即，
所以在时递增，从而，即，
所以在时递减，所以，
从而，
所以，
所以，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1) 求得.通过，，即可确定函数单调区间，即可求解；
(2)当 ，则显然成立； 再讨论 ，令 ，求得 ， 令 ，求得
.再令 ， 求导 .再令，求得，进而得到依次得到 ， ， 从而说明 ，进而可求证.
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