初中数学苏科版（新版）八年级下9.4矩形菱形正方形 第3课时 正方形 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第9章 中心对称图形—平行四边形
9.4 矩形、菱形、正方形
八年级数学下册苏科版
第3课时 正方形
1
正方形的定义及性质
2
正方形的判定
CONTENTS
1
新知导入
填一填：
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行 四边形
矩 形
菱 形
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行
四边都相等
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对
称图形
轴对称图形
中心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角是直角的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
轴对称图形
中心对称图形
CONTENTS
2
课程讲授
正方形的定义及性质
问题1.1 平行四边形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
邻边相等
正方形
定 义：
有一组邻边相等并且的有一个角是直角的平行四边形是正方形.
平行四边形
有一个角是直角
正方形的定义及性质
问题1.2 矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
邻边相等
矩 形
正方形
定 义：
有一组邻边相等的矩形是正方形．
正方形的定义及性质
问题1.3 菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
定 义：
有一个角是直角的菱形是正方形．
菱形
有一个角是直角
正方形
正方形的定义及性质
问题2 正方形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．它有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线）
正方形的定义及性质
问题3 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形的定义及性质
问题4.1 正方形既能由矩形变换得到又能由菱形变换得到，那么正方形具有哪些性质？
猜想：正方形的四条边都相等，
四个角都是直角，
对角线相等且互相垂直平分.
正方形的定义及性质
问题4.2 已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°，AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
∴正方形是矩形（矩形的定义），
正方形是菱形(菱形的定义)，
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB= BC=CD=AD.
正方形的定义及性质
问题4.3 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
正方形的性质：
正方形的定义及性质
正方形的对边平行、四条边都相等.
边：
正方形的四个角都是直角.
角：
正方形的对角线对角线相等且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角.
对角线：
正方形的定义及性质
练一练：正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
C
正方形的判定
问题5 前面我们学习了矩形和菱形，还记得它们的判定方法么？
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的判别方法：
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③三个角是直角的四边形是矩形.
菱形的判别方法：
①定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②四条边相等的四边形是菱形.
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
正方形的判定
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
正方形的判定
问题6.1 从对角线方面如何判定一个四边形是正方形呢？
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形的判定
问题6.2 已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线且AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴ AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形的判定
问题6.3 已知：如图，在菱形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线且AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴ AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
正方形的判定
正方形的判定方法：
2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
1.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形的判定
例 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′ 、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=DA（正方形的四个角都是直
角，四条边相等）.
∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′ ，
∴D′A=A′B=B′C=C′D.
∴△AA′D′≌△ BB′A′≌△CC′B′≌△ DD′C′，
正方形的判定
∴∠2=∠3，
A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.
∴四边形A′B′C′D′是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
∵ ∠A=90°，∴∠1+∠2=90°.
∵ ∠2=∠3，∴∠1+∠3=90°.
∴∠ D′A′B′= 90°.
∴菱形A′B′C′D′是正方形（有一个角是直角
的菱形是正方形）.
正方形的判定
练一练：下列横线上填写正确的一项是（ ）
有一个角是直角的 是正方形；
有一组邻边相等的 是正方形.
A、矩形 菱形
B、菱形 平行四边形
C、平行四边形 矩形
D、菱形 矩形
D
CONTENTS
3
随堂练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　 )　
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
B
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
B
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件______________________________，使四边形ABCD是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
4.如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形.
（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
CONTENTS
4
课堂小结
正 方 形
正方形的定义
正方形的判定
正方形的性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形.
2.边：正方形的四条边相等.
3.角：正方形的四各角都是直角.
4.对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.