数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程教案（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 183.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-10 19:17:09 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 抛物线及其标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年 5 月
教学目标
教学目标：能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，用坐标法推出抛物线的标准方程. 教学重点：类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题. 教学难点：体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 引入 通过前面的学习我们知道，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线.当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？由本章引言中平面截圆锥的问题，我们想椭圆、双曲线都研究了，只有抛物线没有研究了，点的轨迹应该是抛物线.下面我们就来研究这个问题.
16分钟 新课 问题1：同学们猜想一下，动点的轨迹是什么形状？ 追问1：我们在平面内取点是定点，是不经过点的定直线，如何作定点，使它到定点的距离与它到定直线的距离相等呢？ 追问2：在图上，你能作出点到定点的距离以及点到定直线的距离吗？ 连接点和定点，线段的长度就是点到定点的距离，过点向直线作垂线段，垂线段的长度是点到定直线的距离. 满足： 追问3：如果让点运动起来，怎么满足这个条件不变？ 这让我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，所以我们连接点，动点就是线段的垂直平分线与定直线 的垂线的交点. 追问4：动点的轨迹是什么形状？ 拖动点，点也随之运动，始终有，即点到定点的距离等于它到定直线 的距离，这时我们看到，点的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线. 追问5：当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？ 当直线经过点时，动点到定点的距离就是动点到定直线的距离，所以，此时动点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.所以，直线不经过定点. 定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？ 建系，设点，列式，化简，检验. 追问1：推导曲线的标准方程，首先要建立平面直角坐标系，回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程是如何建系的？ 我们在前面的学习中，以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称. 追问2：观察抛物线的几何特征，我们要如何建系呢？ 它只有一条对称轴，并且焦点在对称轴上，所以我们以对称轴所在直线为轴. 追问3：轴如何建立？ 一般来说，同学们会选择以下三种情况中的一种. 我选择第二种，我的理由是：设轴与准线的交点为，取线段的垂直平分线为轴，这样点和在轴上的坐标关于原点左右对称. 另两种同学们可以进行尝试，然后比较一下哪个方程形式更简单，想想为什么，这三种不同形式的方程是否有联系？ 追问4：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离，那么焦点的坐标为，准线 的方程为. 根据定义中的动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，我们把这句话用数学语言进行翻译. 设是抛物线上任意一点，根据两点间距离公式可得 设动点到定直线的距离为，由图可得. 所以. 将这个式子两边平方去根号，得. 展开上式中的平方式，得 整理，得. 从上面的推导过程可以知道，抛物线上任意一点的坐标都是方程的解，反之，以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上. 我们把这个方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 问题3：选择不同的坐标系时，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢？请大家观察图形，探究之后填写下表. 追问1：我们建系的时候让抛物线的顶点与坐标原点重合，但是焦点和准线的位置可以有哪些相应的变化呢？ 追问2: 结合刚才我们推导开口向右的抛物线标准方程的过程，你能否推出开口向左、向上、向下的抛物线标准方程，并找找有什么规律？ 图形标准方程焦点坐标准线方程
抛物线四种标准方程的等号左边都是系数为1的二次项，右边是一次项. 开口向左、向右的抛物线，一次项是，的系数为正时，开口向右，的系数为负时，开口向左. 再看抛物线开口向上、向下的情况，同样符合刚才我们发现的规律，所以可以总结为：一次项定轴，系数正负定方向. 我们又注意到，四种抛物线焦点坐标和准线方程都与的值有关，它是焦点与准线的距离,准线与对称轴垂直相交的垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都是标准方程一次项系数绝对值的.
3 分钟 应用知识 问题4： 例 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. 追问1：抛物线的焦点坐标和准线方程由什么决定？ 与焦点的位置以及焦点与准线的距离的值的大小有关系. （1）因为，抛物线焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是. （2）因为焦点在轴的负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是. 小结：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，的值都非常关键，它是抛物线的唯一特征量，决定了抛物线的焦点坐标和准线方程.
2 分钟 小结 抛物线的几何特征是什么？ 抛物线的标准方程是如何获得的？ 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
1 分钟 课后练习 根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是2. 解：（1）由题意知，，焦点在轴正半轴上. 所以，可设抛物线标准方程为 计算得 故所求抛物线的标准方程为. （2）由题意知，，准线与轴交于负半轴. 所以，可设抛物线标准方程为 计算得 . 故所求抛物线的标准方程为 . （3）焦点到准线的距离是，所以 因为开口方向不确定，所以答案有四个. 分别为：，，，. 2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）；（2）. 解:（1）由题可知，抛物线开口向上，. 所以，焦点坐标为，准线方程为. （2）因为，得. 所以抛物线开口向左，. 所以，焦点坐标为，准线方程为.
课题 抛物线及其标准方程
教科书 书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年 5 月
教学目标
教学目标：能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，用坐标法推出抛物线的标准方程. 教学重点：类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题. 教学难点：体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1 分钟 引入 通过前面的学习我们知道，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线.当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？由本章引言中平面截圆锥的问题，我们想椭圆、双曲线都研究了，只有抛物线没有研究了，点的轨迹应该是抛物线.下面我们就来研究这个问题.
16分钟 新课 问题1：同学们猜想一下，动点的轨迹是什么形状？ 追问1：我们在平面内取点是定点，是不经过点的定直线，如何作定点，使它到定点的距离与它到定直线的距离相等呢？ 追问2：在图上，你能作出点到定点的距离以及点到定直线的距离吗？ 连接点和定点，线段的长度就是点到定点的距离，过点向直线作垂线段，垂线段的长度是点到定直线的距离. 满足： 追问3：如果让点运动起来，怎么满足这个条件不变？ 这让我们想起熟悉的图形中也有类似的特征，“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，所以我们连接点，动点就是线段的垂直平分线与定直线 的垂线的交点. 追问4：动点的轨迹是什么形状？ 拖动点，点也随之运动，始终有，即点到定点的距离等于它到定直线 的距离，这时我们看到，点的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线. 追问5：当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？ 当直线经过点时，动点到定点的距离就是动点到定直线的距离，所以，此时动点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.所以，直线不经过定点. 定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线. 问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？ 建系，设点，列式，化简，检验. 追问1：推导曲线的标准方程，首先要建立平面直角坐标系，回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程是如何建系的？ 我们在前面的学习中，以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称. 追问2：观察抛物线的几何特征，我们要如何建系呢？ 它只有一条对称轴，并且焦点在对称轴上，所以我们以对称轴所在直线为轴. 追问3：轴如何建立？ 一般来说，同学们会选择以下三种情况中的一种. 我选择第二种，我的理由是：设轴与准线的交点为，取线段的垂直平分线为轴，这样点和在轴上的坐标关于原点左右对称. 另两种同学们可以进行尝试，然后比较一下哪个方程形式更简单，想想为什么，这三种不同形式的方程是否有联系？ 追问4：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离，那么焦点的坐标为，准线 的方程为. 根据定义中的动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，我们把这句话用数学语言进行翻译. 设是抛物线上任意一点，根据两点间距离公式可得 设动点到定直线的距离为，由图可得. 所以. 将这个式子两边平方去根号，得. 展开上式中的平方式，得 整理，得. 从上面的推导过程可以知道，抛物线上任意一点的坐标都是方程的解，反之，以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上. 我们把这个方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. 问题3：选择不同的坐标系时，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢？请大家观察图形，探究之后填写下表. 追问1：我们建系的时候让抛物线的顶点与坐标原点重合，但是焦点和准线的位置可以有哪些相应的变化呢？ 追问2: 结合刚才我们推导开口向右的抛物线标准方程的过程，你能否推出开口向左、向上、向下的抛物线标准方程，并找找有什么规律？ 图形标准方程焦点坐标准线方程
抛物线四种标准方程的等号左边都是系数为1的二次项，右边是一次项. 开口向左、向右的抛物线，一次项是，的系数为正时，开口向右，的系数为负时，开口向左. 再看抛物线开口向上、向下的情况，同样符合刚才我们发现的规律，所以可以总结为：一次项定轴，系数正负定方向. 我们又注意到，四种抛物线焦点坐标和准线方程都与的值有关，它是焦点与准线的距离,准线与对称轴垂直相交的垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都是标准方程一次项系数绝对值的.
3 分钟 应用知识 问题4： 例 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. 追问1：抛物线的焦点坐标和准线方程由什么决定？ 与焦点的位置以及焦点与准线的距离的值的大小有关系. （1）因为，抛物线焦点在轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是. （2）因为焦点在轴的负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是. 小结：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，的值都非常关键，它是抛物线的唯一特征量，决定了抛物线的焦点坐标和准线方程.
2 分钟 小结 抛物线的几何特征是什么？ 抛物线的标准方程是如何获得的？ 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
1 分钟 课后练习 根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是2. 解：（1）由题意知，，焦点在轴正半轴上. 所以，可设抛物线标准方程为 计算得 故所求抛物线的标准方程为. （2）由题意知，，准线与轴交于负半轴. 所以，可设抛物线标准方程为 计算得 . 故所求抛物线的标准方程为 . （3）焦点到准线的距离是，所以 因为开口方向不确定，所以答案有四个. 分别为：，，，. 2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）；（2）. 解:（1）由题可知，抛物线开口向上，. 所以，焦点坐标为，准线方程为. （2）因为，得. 所以抛物线开口向左，. 所以，焦点坐标为，准线方程为.