2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一1.2 集合间的基本关系（有解析）

1.2 集合间的基本关系
一、单选题（本大题共8小题）
1. 已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
2. 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4. 设全集，集合，，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5. 设集合，则集合的真子集有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6. 下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知集合，，，则M，N，P的关系为（ ）
A． B． C． D．
8. 设集合A＝{x|－10}．若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥1}
B．{a|a>1}
C．{a|a<－1}
D．{a|a≤－1}
二、多选题（本大题共4小题）
9. (多选)已知集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，则实数a可能为(　　)
A．0 B.
C. D．1
10. (多选)[全国中学生数理化2018年创新能力大赛]已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，则(　　)
A．A B B．B A
C．A＝B D．A∩B＝
11. （多选）下列说法中，正确的有
A．空集是任何集合的真子集
B．若，，则
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．如果不属于的元素一定不属于，则
12. （多选）如下四个结论中，正确的有
①；②；③ ；④.
A．①.
B．②
C．③
D．④
三、填空题（本大题共4小题）
13. 满足的集合的个数为 ．
14. 已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝ ，则实数m的取值范围是 .
15. 已知集合满足，则符合条件的集合有 个．
16. 若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
17. 已知集合，，若，且，求，的值．
18. 已知集合，集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知集合，试写出的所有子集及真子集．
20. 已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
21. 已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3, x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：
(1)当A＝{2，3，4}时，x的值；
(2)当2∈B，BA时，a，x的值；
(3)当B＝C时，a，x的值．
参考答案
1. 【答案】C
【分析】
化简集合，再对分三种情况讨论得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以
当时，
当时，；
当时，；
故实数的取值集合是.
故选：C
2. 【答案】A
【分析】
根据集合和中的元素的特征，结合集合间的关系，即可得解.
【详解】
对集合，其集合中的元素为的整数倍，
对集合，其集合中的元素为的整数倍，
的整数倍必为的整数倍，反之则不成立，
即中的元素必为中的元素，而中的元素不一定为中的元素，
故为的真子集，
故选：A
3. 【答案】A
【分析】
分与讨论数形结合即可求解
【详解】
若，即，即时，满足；
若，即，亦即时，
要使，
则需满足解得．
综上所述，．
故选：A．
4. 【答案】A
【分析】
由已知集合，应用集合的补运算求与，进而判断它们的包含关系.
【详解】
由题设，，，
∴.
故选：A
5. 【答案】A
【分析】
根据题意先求得集合，再求真子集的个数即可.
【详解】
由，
可得，所以集合的真子集有个，
故选：A
6. 【答案】A
【分析】
根据子集的定义、属于关系的含义、空集的定义进行判断即可.
【详解】
A：根据子集的定义，显然成立，故本选项表述正确；
B：根据子集的定义，显然有成立，故本选项表述不正确；
C：根据属于的含义，显然有成立，故本选项表述不正确；
D：根据空集的定义，显然不成立，故本选项表述不正确.
故选：A
7. 【答案】B
【分析】
先将集合化简变形成统一形式，然后判断即可
【详解】
因为，，
，
所以
故选：B.
8. 【答案】D
【详解】化简得集合B为{x|x>a}，结合数轴可知，要使A B，则只要a≤－1即可，即a的取值范围是{a|a≤－1}，故选D.
9. 【答案】ABC
【详解】∵A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax－1＝0}，B A，
∴当a＝0时，B＝ ，成立；
当a≠0时，B＝，
∴＝3或＝5，解得a＝或a＝.
故a＝或a＝或a＝0，故选ABC.
10. 【答案】ABC
【详解】若x∈A，则存在a，b∈Z，使得x＝3a＋2b＝2b－3(－a)∈B；同样，若x∈B，则存在a，b∈Z，使得x＝2a－3b＝3(－b)＋2a∈A，所以A＝B，从而选项ABC正确，D不正确．
11. 【答案】BD
【分析】
根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否.
【详解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错；
真子集具有传递性，故选项B正确；
若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错；
由韦恩图易知选项D正确.
故选BD.
12. 【答案】AC
【分析】
根据空集的定义和性质可得正确的选项.
【详解】
①空集是自身的子集，①正确；0不是空集中的元素，
②错误；空集是任何非空集合的真子集，③正确；
是含一个元素0的集合，不是空集，④错误.故正确结论的序号为①③.
故选AC.
13. 【答案】3
【分析】
由集合间的关系判断集合A中元素特征，列举出符合条件的集合A，确定个数
【详解】
因为，所以集合A中必有1,2，可能有3,4中的一个，故集合A可能为：，，，共3个
14. 【答案】m≥1
【详解】
∵M＝ ，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案为m≥1
15. 【答案】7
【分析】
根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.
【详解】
据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件的集合M有：，，，，共7个，
故答案为：7.
16. 【答案】0或1或4
【详解】
∵，∴若，则，满足B为的真子集，此时A与B构成“全食”，若，则，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则或 ，解得或，综上的值为0或1或4，故答案为0或1或4.
17. 【答案】，．
【分析】
由且，可得中只有一个元素-2或者3，分类讨论即可得解.
【详解】
∵，，
∴或．
若，则
∴，不满足，
∴；
若，则
满足，
∴，．
18. 【答案】（1）；（2）不存在实数，使得.．
【详解】
试题分析：（1）依据题设中的集合包含关系分或类建立不等式进行求解；（2）依据集合相等建立方程组求解．
解：(1)因为，所以集合可以分为或两种情况来讨论：
当时，.
当时，得.
综上，.
(2)若存在实数，使，则必有，无解.
故不存在实数，使得.
19. 【答案】的子集有，，，，，，，．
的真子集有，，，，，， ．
【分析】
集合用列举法表示为,依次写出其子集与真子集即可
【详解】
∵,∴,
∴的子集有,,,,,,,．
的真子集有,,,,,, ．
20. 【答案】(1)；(2).
【详解】
（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；
（2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．
(1)
解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
(2)
解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
21. 【答案】见详解
【详解】(1)因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，所以x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
(2)因为2∈B且BA，所以
解得或均符合题意．
所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3.
(3)因为B＝C，所以
①－②并整理得a＝x－5，③
③代入①并化简得x2－2x－3＝0，所以x＝3或x＝－1.
所以a＝－2或a＝－6.
经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．
所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.
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