数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程 教案（表格式）

课程基本信息
课题 2.4.2圆的一般方程
教科书 书名：《数学》选择性必修第一册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2020年5月
教学目标
教学目标：（1）掌握圆的一般方程，会用一般方程求圆心半径等。 （2）会用待定系数法、几何法求圆的一般方程 （3）体会数学形结合的数学思想方法。 教学重点：求圆的一般方程，求与圆有关的轨迹方程。 教学难点：运用一般方程解决相关问题。
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
复习旧知类比引入 确立对象建立方程 对比方程观察特征 例题讲解强化新知 解题小结方法提升 应用方程知识升华 课堂小结布置作业 问题1：直线方程有哪些形式呢？ 追问：圆的方程是否也有一般式呢？ 问题2： 方程是否表示圆呢？ 尝试讨论下面问题： （1）这类方程是否一定都是圆的方程？ （2）如果这类方程表示一个圆，其系数应具有怎样的条件？ （3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出此圆的圆心坐标，求出圆的半径？ （4）这类方程如果不表示一个圆，方程会表示什么曲线？ 由于标准方程中，等式右方为半径的平方>0，因此我们需要得到一个D、E、F同时满足的不等关系。 通过配方把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化成 提到一个方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的一般方程，这是有前提的，首先需要在方程确实表示一个圆的情况下称圆的方程，而条件D2＋E2－4F＞0是充要条件．第（2）种情况，D2＋E2－4F＝0，此时方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点，这个点可以看成是半径等于0的“圆”．第(3)种情形，D2＋E2－4F＜0，方程并不表示任何图形． 当D2＋E2－4F＜0时，我们把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程。 问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由. （1） (2) 根据前面的学习，可以有两种方式。方法1，进行配方变形，找圆心求半径；方法2，利用刚刚学过的公式来求。两种方法从本质上来说是一致的，都体现了曲线与方程的概念。 题1变形后，可直接得到圆为（1，-2），半径 ；而题2中含有参数，所以变形后，要对等式右方进行讨论，当，只表示点（0，0），当 时才能表示圆。参数范围的产生，主要由于半径为正数造成的。相比而言，利用关于D、E、F的关系式不如配方转化成标准方程更直观、更方便。 例2 求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 解：设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径． 问题4：什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？ 待定系数法，一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方程、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数．由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法． 用待定系数法求圆的方程需要这三步。 （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出参数，得到标准方程或一般方程． 当判定四点共圆时，先通过三点确定一个圆，本题中先通过求出圆的方程（为直径），然后代入满足，四个点都在x2＋y2－8x＋6y＝0上． 例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x＋1）2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 问题5：同学们如何理解轨迹和轨迹方程呢？ 轨迹，顾名思义就是动点按一定轨道运动所留下的痕迹。它是一种点的集合，是一类曲线，而轨迹方程则是曲线的代数表示. 本题中，欲求M的轨迹方程，只要通过已知条件，求出M的坐标所满足的代数关系即可。显然，M点的生成原因是解题的关键.在已知中有两个定量，点B坐标和动点A坐标所满足的方程. 解：设点M的坐标是（x，y），点A的坐标是（x0，y0）．由于点B的坐标是（4，3），且M是线段AB的中点，所以 ， ， 于是有 ① 因为点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即（x0＋1）2＋y20＝4. ② 把①代入②，得（2x－4＋1）2＋（2y－3）2＝4，整理，得 ． 变形 若以OA、OB为边作平行四边形OAPB，求P轨迹方程. 注意共线情形，要求. 问题6：这节课学习了哪些知识？运用了哪些思路与方法呢？ 课后作业（见学生资源）