2022-2023学年华师大版数学九年级上册 22.2.1 直接开平方法和因式分解法 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
教学目标
1、会用直接开平方法解形如
（a≠0,ab≥0）的方程；
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。
新知一 直接开平方法
1. 定义
利用平方根的定义直接开平方，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
特别警示：
直接开平方法要注意两点：
●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
●只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法的前提是x2=p中p ≥ 0.
知识链接：
平方根的定义：
若x2=a(a ≥ 0)，则x 是a 的平方根， 即x=±
探究新知
2. 方程x2=p 解(根)的情况
(1)当p>0 时，方程有两个不等实数根，x1= ，x2=－ ；
(2)当p=0 时，方程有两个相等实数根，x1=x2=0；
(3)当p<0 时，方程没有实数根.
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
步骤1：移项，将方程变成左边是含未知数的一次式的平方，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根).
步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程.
步骤3：解这两个一元一次方程，得出的两个解即为一元二次方程的两个根.
知识储备：
用直接开平方法解一元二次方程的方法：
首先将方程化成左边是含未知数的一次式的平方，右边是非负数的形式，然后开平方求解.
用直接开平方法解下列方程：
(1)9x2－81=0； (2)2(x－3)2－50=0.
解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解.
解：(1)移项，得9x2=81.
方程两边同时除以9，得x2=9.
开平方，得x=±3.
∴ x1=3，x2=－3.
(2)移项，得2(x－3)2=50.
方程两边同时除以9，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
学校重新布置校园，准备将校园中心边长为40 m 的正方形草坪扩展为面积为2 500 m2 的正方形草坪，那么边长应该增加多少？
解题秘方：建立一元二次方程的模型，紧扣直接开平方法的步骤求解.
解法提醒：
用一元二次方程解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题大同小异，设出未知数，找出等量关系，列出方程求解即可.取舍根时要紧扣未知数的实际意义.
解：设边长应该增加x m，
根据题意，得(40+x)2=2 500.
直接开平方，得40+x=±50.
移项，得x=－40±50.
解得x1=－90(不符合题意，舍去)，x2=10.
所以边长应该增加10 m.
新知二 因式分解法
1. 定义
把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
知识储备：
常用的因式分解的方法：
1. 提公因式法；
2. 公式法；
3. x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
用因式分解法解下列方程.
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
(2)4(x－3)2－25(x－2)2=0；
解法提醒：
1. 用因式分解法解一元二次方程，虽然简便，但这种方法只适用于部分一元二次方程.
2. 用因式分解法解方程时需将一元二次方程的右边化为0，再对方程的左边因式分解.
3. 不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式.
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解方法.
解：(1)移项，得(x－5)(x－6) －(x－5)=0.
∴(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5=0 或x－7=0.
∴ x1=5，x2=7.
方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根.
(2)原方程可化为［2(x－3)］2－［5(x－2)］2=0，
∴［2(x－3)+5(x－2)］［2(x－3) －5(x－2)］=0，
∴(7x－16)(－3x+4)=0，∴7x－16=0 或－3x+4=0.
教你一招：
采用因式分解法解一元二次方程的技巧：右化零，左分解，两因式，各求解.
直接开平方法和因式分解法
直接开平方法
因式分解法
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