2022年秋鲁教版（五四制）数学九年级上册 3.6 二次函数的应用 课件(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 2022年秋鲁教版（五四制）数学九年级上册 3.6 二次函数的应用 课件(共22张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-11 17:13:36 | ||
图片预览
文档简介
(共22张PPT)
3.6 二次函数的应用
1、掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2、学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题
3．熟练应用二次函数的知识解决实际问题。
4．通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。
重点：应用二次函数解决图形有关的最值问题
难点：求出二次函数的表达式
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称
轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 。
抛物线
上
小
下
大
高
低
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .
抛物线
直线x=h
(h，k)
河上有座抛物线拱桥，如图所示，拱顶离水面高2m时，测得水面宽4m，若想了解水面宽度变化时.拱顶离水面高度怎样变化,你能建立模型来解决这个问题吗？
A
B
C
D
标突
标突
分析：
根据题意，要求CD宽，只要求出ED的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．又因为点D在桥洞所成的抛物线上，故应先求出抛物线所对应的函数关系式.
C
D
A
B
E
一座拱桥的纵截面是抛物线的异端，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．
你能想出办法来吗？
4.9m
4m
2m
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应当是某个二次函数的图象
你能想出办法来吗？
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
－2
－4
2
1
－2
－1
A
－2
－4
2
1
－2
－1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上由此得出
解得
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时， ，从而
因此拱顶离水面高1.125m
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
当 a＞0 时，有 ，此时 ；
当 a＜0 时，有 ，此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
（1）
∴ 当 时，有
当 时，有
解：
O
x
y
1
-3
（2）
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B (1,2.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
(0,1.25)
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
●B (1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
1、足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式
h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
2、河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
C
3、如图1，在△ABC中， ∠B=90 °，AB=12cm，BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
A
B
C
P
Q
图1
3
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题
3.6 二次函数的应用
1、掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2、学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题
3．熟练应用二次函数的知识解决实际问题。
4．通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。
重点：应用二次函数解决图形有关的最值问题
难点：求出二次函数的表达式
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称
轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 。
抛物线
上
小
下
大
高
低
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .
抛物线
直线x=h
(h，k)
河上有座抛物线拱桥，如图所示，拱顶离水面高2m时，测得水面宽4m，若想了解水面宽度变化时.拱顶离水面高度怎样变化,你能建立模型来解决这个问题吗？
A
B
C
D
标突
标突
分析：
根据题意，要求CD宽，只要求出ED的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．又因为点D在桥洞所成的抛物线上，故应先求出抛物线所对应的函数关系式.
C
D
A
B
E
一座拱桥的纵截面是抛物线的异端，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．
你能想出办法来吗？
4.9m
4m
2m
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应当是某个二次函数的图象
你能想出办法来吗？
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
－2
－4
2
1
－2
－1
A
－2
－4
2
1
－2
－1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上由此得出
解得
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时， ，从而
因此拱顶离水面高1.125m
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？
当 a＞0 时，有 ，此时 ；
当 a＜0 时，有 ，此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值.
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
（1）
∴ 当 时，有
当 时，有
解：
O
x
y
1
-3
（2）
∴ 当 x = -3 时，有
∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小.
当 x = 1 时，有
例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B (1,2.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
(0,1.25)
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
●B (1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
1、足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式
h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
2、河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
C
3、如图1，在△ABC中， ∠B=90 °，AB=12cm，BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
A
B
C
P
Q
图1
3
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题