1.1.2 菱形的判定 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
北师大版 九年级上册
1.1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
情景导入
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
那么，菱形的判定有什么方法呢？
实践探究
探究1：一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？
(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
边
角
对角线
每一条对角线平分一组对角
2．运用菱形的性质进行菱形的判定，应具备几个条件？
两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等.
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
A
B
C
D
还有其他的判定方法吗？
思考
探究2：菱形的判定定理1
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
A
B
C
O
D
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵ □ ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴ □ ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD， ∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理1：
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
探究3：菱形的判定定理2
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
归纳总结
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定定理2：
应用举例
例1
已知：如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.
求证：□ ABCD是菱形．
【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形．
A
B
C
D
O
证明：在△AOB中，∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝OA2＋OB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角，
∴AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
A
B
C
D
O
例2
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.
【方法指导】小组讨论 教师引导[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)] 学生展示 教师评价．
A
B
C
D
E
O
1
2
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；
(2)四边形BCDE是菱形．理由如下：
连接BE，DE.
∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.
∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．
又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．
A
B
C
D
E
O
1
2
例3
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
归纳
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
随堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．
故选B．
3.已知：如图，在□ ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相交于点E、O、F.
求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四形边ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，
∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
∠1=∠2，
OA=OC，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF，
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴□AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，
求菱形BCFE的面积．
A
B
C
D
E
F
解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，∴BE＝BC．
∵EF＝BE，∴EF＝BC．
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
A
B
C
D
E
F
(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
又∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2 ，
∴菱形的面积为4×2 ＝8 .
A
B
C
D
E
F
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理