1.1.3 菱形的性质与判定的综合应用 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
北师大版 九年级上册
1.1 菱形的性质与判定
第3课时　菱形的性质与判定的综合应用
情景导入
我们已经研究了一个特殊的平行四边形——菱形，它的定义是什么呢？有哪些性质呢？
问题1：菱形的定义：___________________________________
问题2：菱形的性质：
(边)__________________________
(角)__________________________
(对角线)_______________________________________________
(对称性)_______________________________________________
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对边平行且四条边相等
对角相等，邻角互补
对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角
既是轴对称图形，也是中心对称图形
实践探究
探究1
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
A
B
C
D
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形，
从 A点作AM⊥DC 交于点 M,
作AN⊥BC交于点 N,
∵是两张等宽的纸，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ADM，∴AB = AD,
∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
探究2
若纸条的宽度是3，∠ABC＝60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？
A
B
C
D
方法一：菱形是特殊的平行四边形，可以用“底×高”求菱形的面积．
解：过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，∠B＝60°，AE＝3，
设BE＝x(x＞0)，则AB＝2x．
由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，
即(2x)2＝32＋x2，解得x＝ ，
∴BE＝ ，AB＝2 ，
S菱形ABCD＝BC·AE＝2 ×3＝6 .
A
B
C
D
E
方法二：菱形的对角线互相垂直，可以用 AC·BD，求菱形的面积．
解：连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
由方法(1)可知AB＝2 ，
∴AB＝BC＝AC＝2 ，
A
B
C
D
O
E
∴OA＝ ．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OB＝ ＝ ＝3，
∴BD＝2OB＝2×3＝6．
S菱形ABCD＝2S△ABC＝ AC·OB×2＝ AC·BD＝ ×2 ×6＝6 ．
A
B
C
D
O
E
归纳总结
菱形面积的计算公式：
①如图，S菱形ABCD＝AB·DE，即菱形的面积等于底乘高；
② S菱形ABCD＝ AC·BD，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．
A
B
C
D
E
O
应用举例
如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.求：
(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积．
【方法指导】(1)根据菱形的性质可得BD⊥AC，BE＝DE＝ BD，然后利用勾股定理计算出AE的长，进而可得答案；
(2)将菱形分割成两个三角形或四个直角三角形，进而求出整个菱形的面积．
A
B
C
D
E
例1
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴∠AED＝90°(菱形的对角线互相垂直)，
DE＝ BD＝ ×10＝5(cm)(菱形的对角线互相平分)，
∴AE＝ ＝ ＝12(cm)，
∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的对角线互相平分)；
A
B
C
D
E
(2)菱形ABCD的面积
＝△ABD的面积＋△CBD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2× ×BD×AE
＝2× ×10×12
＝120(cm2).
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)AB＝10 cm，求菱形BDEF的周长．
【方法指导】(1)根据三角形的中位线定理及菱形的定义可证出结论；
(2)根据中点的定义和菱形的四条边相等可得菱形BDEF的周长．
例2
A
B
C
D
E
F
解：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF＝ BC，EF∥BC.
同理可证DE＝ AB，DE∥AB.
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB＝BC，∴EF＝DE，
∴四边形BDEF是菱形；
A
B
C
D
E
F
(2)∵F是AB的中点，
∴BF＝ AB＝ ×10＝5(cm)，
∵四边形BDEF是菱形，
∴BD＝DE＝EF＝BF，
∴菱形BDEF的周长为4×5＝20(cm).
A
B
C
D
E
F
随堂练习
1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝2 cm，BD＝4 cm，则菱形ABCD的面积是_____cm2.
4
8
2.如图，菱形ABCD的边长是4 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则
S菱形ABCD＝_____cm2.
D
A
C
B
O
A
D
C
B
E
第1题图
第2题图
3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8 cm.求：
(1)两条对角线的长度；
(2)菱形的面积．
A
B
C
D
O
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD∥BC.
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1:2，
∴∠ABC＝ ×180°＝60°，
∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°.
∵菱形ABCD的周长是8 cm，
A
B
C
D
O
∴AB＝2 cm，
∴OA＝ AB＝1(cm).
∴OB＝ ＝ ＝ (cm)，
AC＝2OA＝2×1＝2(cm).
∴BD＝2OB＝2 (cm)；
(2)S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×2×2 ＝2 (cm2).
A
B
C
D
O
课堂小结
面积=底×高
=两条对角线乘积的一半
菱形的性质与判定的综合应用
菱形的面积
综合运用