1.2.1 矩形的性质 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
北师大版 九年级上册
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
情景导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
合作探究
1．下图是一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动它并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？
探究1：矩形的定义
思考
2．继续拉动平行四边形，当拉动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？
矩形
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(通常也叫长方形)．
归纳总结
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
1. 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
2. 矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形.
平行四边形
矩形
是
不一定是
探究2：矩形的性质定理
活动1
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等．
（1）测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果．
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
A
B
C
D
O
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角．
猜想2 矩形的对角线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C = 90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°.
1. 如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°．
求证： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°．
A
B
C
D
证一证
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
2. 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O．求证：AC＝DB．
A
B
C
D
O
归纳总结
矩形的性质定理：
定理1 矩形的四个角都是直角．
定理2 矩形的对角线相等．
活动2
折一张矩形纸片，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是轴对称图形，有2条对称轴．
结论
在一张矩形纸片上画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半．
A 　
B 　
C 　
D 　
O 　
B
C
O
A
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？
问题
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
探究3:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
O
C
B
A
D
如图, 在Rt△ABC中,∠ABC=90°, BO是AC上的中线. 求证: BO = AC .
证一证
证明：延长BO至D，使OD=BO，连接AD、DC．
∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴BO= BD= AC．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
定理
归纳总结
矩形定理1：矩形的四个角都是直角；
矩形定理2：矩形的对角线相等．
矩形定理3：直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半．
1. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长．
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF
＋AF＝5＋5＋4＋4＝18．
练一练
(2) 求证：EF垂直平分AD．
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E,F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD．
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
点拨
2. 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
点拨
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
应用举例
如图, 在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°， AB=2.5，求这个矩形对角线的长？
D
C
B
A
O
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.
又∵OA=OC= AC，OB=OD= BD
(矩形的对角线互相平分）,
∴OA=OD.
∵∠AOD=120°,
∴ ∠ ODA= ∠OAD= =30°，
又 ∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm) .
例1
你认为例1还可以怎么去解？
已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC．求证：CE＝EF．
例2
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
且AD∥BC.∴∠1＝∠2.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°.
∴∠B＝∠AFD.
又∵ AE＝BC，∴ AE＝AD
∴△ABE≌△DFA(AAS)．
∴AF＝EB.
∴EF＝EC.
此题还可以连接DE，证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC.
点拨
例3
已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形．
∴AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB.
又∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8(cm).
A
B
C
D
O
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°, AO＝ AC, BO＝ BD, AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE ：∠BAE＝3 ：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
解：
练一练
随堂练习
1.如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当等于多少时，四边形BHDG为菱形 ( 　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C
A
B
C
D
H
G
2.如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为______.
5
A
E
C’
D
C
B
3.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4.求BD与AD的长.
解：∵OA＝4，
∴BD＝AC＝2OA＝8，
AD＝BC＝ ＝ ＝2 .
A
B
C
D
O
4.已知：如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4)cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理：x2＋82＝(x＋4)2，
解得x＝6，则AD＝6 cm；
利用面积公式，可得到两直角边、
斜边及斜边上的高有一个基本关
系式：AE·DB＝AD·AB，
解得AE＝4.8 cm.
课堂小结
具有平行四边形的一切性质
1. 四个内角都是直角
2. 两条对角线互相平分且相等
轴对称图形，有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的相关概念及性质