1.2.2 矩形的判定 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
北师大版 九年级上册
1.2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
情景导入
小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框吗？
合作探究
探究1：定义证明
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
有一个角
是直角
平行四边形
矩形
用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形．
归纳
探究2：对角线相等的平行四边形是矩形
动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
思考
答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
α
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
矩形
分析：要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证一证
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD, AB∥CD.
又∵AC=DB, BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义).
D
B
C
A
归纳总结
矩形的判定1：
定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？
猜想 一个四边形至少有3个角是直角时，这个四边形是矩形．
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
探究3：有三个角是直角的四边形是矩形
证一证
分析：利用同旁内角互补，两直线平行来证明四边形是平行
四边形，可使问题得证．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC, AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
D
B
C
A
归纳总结
矩形的判定2：
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
应用举例
如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求□ABCD的面积．
A
B
C
D
O
例1
【方法指导】先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定□ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得□ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD.
∵AO＝BO，
∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，
∴BC＝＝4(cm)．
∴S□ABCD＝AB·BC＝4×4＝16(cm2)．
A
B
C
D
O
如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D.
求证：四边形AEBD是矩形．
例2
【方法指导】根据角平分线的性质和平角的定义，得到∠EBD＝90°，再结合AE⊥BE，AD⊥BD，可以确定四边形的三个内角都是直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”就可以证明此四边形是矩形．
A
B
E
D
P
C
证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，
∴∠ABD＋∠ABE＝ (∠ABC＋∠ABP)＝90°，
即∠EBD＝90°.
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形).
A
B
E
D
P
C
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD(矩形的对角线相等),
AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分),
∵ AE=BF=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵EO+OG=FO+OH, 即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、
H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
B
C
D
E
F
G
H
O
A
例3
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋
∠CAM)＝×180°＝90°.
在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
求证：四边形ADCE是矩形．
例4
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（6）四个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；（ ）
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形．（ ）
练一练
×
×
×
×
√
√
√
√
随堂练习
1.下列说法正确的是 (　　)
A．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
D
2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_________________________(只添加一个即可)，使□ABCD是矩形．
AC＝BD (答案不唯一)
3．如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点．
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵□ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝ ∠DAB，∠ABH＝ ∠ABC，
∴∠HAB＋∠ABH＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°，
∴∠H＝90°.
同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
A
B
C
D
H
E
D
G
4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN．求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1) 经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
解：设经过x s，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6．
即经过6 s，四边形PQCD是平行四边形．
(2) 经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过y s，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5 s，四边形PQBA是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
定义
判定定理
矩形的判定