1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版 九年级上册
1.2 矩形的性质与判定
第3课时　矩形的性质与判定的综合应用
情景导入
问题1: 矩形有哪些性质？
A
B
C
D
O
①是轴对称图形；
②四个角都是直角；
③对角线相等且平分.
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；
②有一组邻边相等的矩形；
③有一个角是直角的菱形.
问题2: 矩形有判定方法有哪些？
问题3：如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是______．
问题4：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB＝______，若OA＝3 cm，则CD＝______．
90°
60°
3 cm
实践探究
如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝ BD
(矩形的对角线相等且互相平分)，
∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角).
∵ED＝3BE，
∴BE＝OE．
A
B
C
D
E
O
又∵AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
即△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°－∠ABO＝90°－60°＝30°.
在Rt△AED中，∵∠ADE＝30°，
∴AE＝ AD＝ ×6＝3．
A
B
C
D
E
O
归纳总结
综合应用矩形的性质定理，要注意根据题意灵活选择性质定理．
应用举例
例1
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
【方法指导】矩形的判定定理、等腰三角形的性质的综合应用．
A
B
D
C
E
M
N
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= （∠BAC +∠CAM）
= ×180°
= 90°.
A
B
D
C
E
M
N
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形
（有三个角是直角的四边形是矩形）.
A
B
D
C
E
M
N
想一想
在例1中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，
∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
A
B
D
C
E
M
N
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
∴DF∥AB.
A
B
D
C
E
M
N
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
【方法指导】矩形的性质与判定的综合应用．
例2
A
B
C
D
E
解：(1)∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形；
(2)∵BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝ BC＝3.
在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，由勾股定理，得
AD＝ ＝ ＝4.
∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.
A
B
C
D
E
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD
是矩形？并说明理由．
例3
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF 和△DEC 中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
∠AFE＝∠DCE,
∠AEF＝∠DEC,
AE＝DE,
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
点拨
随堂练习
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则AC的长是 ( 　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.若OE＝5，则OF＝_____．
C
5
3.如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌
△CFH，你添加的条件是____________
__________(添加一个即可)，并证明；
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
A
B
C
D
F
H
E
BE∥CF(答
案不唯一)
解：(1)∵H是BC的中点，
∴BH＝CH.
∵BE∥CF，
∴∠EBH＝∠BCF.
又∵∠BHE＝∠CHF，
∴△BEH≌△CFH(ASA)；
A
B
C
D
F
H
E
(2)BH＝EH.理由如下：连接EC，BF.
∵△BEH≌△CFH，
∴BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形BFCE是平行四边形，
又∵BH＝EH，
∴EF＝BC，
∴四边形BFCE是矩形．
A
B
C
D
F
H
E
4.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4 cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3 cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12 (cm2)．