(共24张PPT)
北师大版 九年级上册
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
情景导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？
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实践探究
探究1：菱形的性质
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
菱形
邻边相等
思考
归纳总结
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
思考
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
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活动1
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
(2)菱形中有哪些相等的线段？
活动2
归纳总结
通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴互相垂直；它的四条边相等．
探究2
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
A
B
C
O
D
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1) AB = BC = CD =AD；
(2) AC⊥BD；
A
B
C
O
D
思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？
(2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
归纳
定理 菱形的四条边相等；
定理 菱形的对角线相互垂直.
探究3：定理的拓展延伸
过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程，你还能发现菱形的对角线有什么性质？
方法提示：由折叠过程或等腰三角形“三线合一”推出菱形对角线的性质．
归纳
菱形的每条对角线平分一组对角．
应用举例
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
例1
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的对角线互相平分)．
在等腰△ABD中，∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2，
∴OA＝ ，∴AC＝2OA＝ .
如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.
求证：DE＝ BE.
例2
【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝ BE.
A
B
C
D
E
证明：连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.
∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴DE＝ BE.
A
B
C
D
E
随堂练习
1.如图，菱形ABCD的周长为20 cm，对角线AC与BD相交于点O，AC＝5 cm.
(1)∠BAC＝______，∠ABC＝______；
(2)对角线BD＝______．
60°
60°
5
A
B
C
O
D
2.下列性质中，菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
C
3.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)．
在Rt△AOB中，
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，
∵
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2BO＝2×3＝6(菱形的对角线互相平分)．
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的长．
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分
2.每一条对角线平分一组对角
