1.3.2 正方形的判定 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
北师大版 九年级上册
1.3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
情景导入
宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，销售员阿姨认为是正方形，把纱巾给了宁宁．你认为宁宁看中的纱巾一定是正方形吗？
合作探究
探究1：探索正方形的判定条件
将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
活动1
答：剪下一个等腰直角三角形．
判定一个四边形是正方形的基本方法：
1.直接用正方形的定义判定，即先判定四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
2.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
3.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
A
B
C
D
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD
又∵AC ⊥ BD，
∴△AOB ≌△AOD（SAS）
∴AB = AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
A
B
C
D
O
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
A
B
C
D
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
A
B
C
D
O
归纳总结
正方形的判定定理：
(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形．
(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形．
(3) 有一个角是直角的菱形是正方形．
(4) 对角线相等的菱形是正方形．
探究2：正方形判定方法的应用
判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形．
方法二：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线互相平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形．
应用举例
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
例1
F
A
B
E
C
D
【方法指导】平行四边形→矩形→正方形．
证明：∵ BF∥CE, CF∥BE,
∴ 四边形BECF是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝90°, ∠DCB＝90°,
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB ,
∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°,
∴ ∠EBC=ECB, ∴EB=EC,
∴□BECF是菱形（菱形的定义）,
∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°,
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
F
A
B
E
C
D
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
例2
【方法指导】
(1)用AAS证明△BED≌△CFD；
(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形．
A
B
C
D
E
F
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.
∵D为BC边的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD(AAS)；
(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形DFAE是矩形．
∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形CEDF是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线,
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG. 同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形CEDF是正方形.
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D．DE⊥AC，DF⊥AB．求证：四边形CEDF为正方形．
A
B
C
D
E
F
例3
G
随堂练习
1.下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形（对角线相交于点O）的是 ( 　 　)
A．AB CD，AB＝AD，∠A＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
＝
∥
C
2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是_____．
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，则S四边形ABCD＝______．
A
B
C
D
E
8
16
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∴矩形CEDF是正方形．
5. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)请判断四边形EFGH的形状，并说明为什么？
(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
理由是：连BD，EH、FG分别是△ABD和△CBD的中位线，
∴EH∥BD∥FG，
EH＝ BD＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等．
6. 如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB；
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：(1)∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2. 又∵BD = BD
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD, PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴DB平分∠ADC.
又∵∠PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
课堂小结
菱形
有一个内角是直角
正方形
对角线垂直
平行四边形
有一个内角
有一组邻边相等
对角线相等
一组邻边相等
定方法
5种判
四边形
一个角是直角且
一组邻边相等
三个角是直角
四条边相等
矩形
是直角