1.3.1 正方形的性质 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
北师大版 九年级上册
1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
情景导入
观察下面的物体，它们在生活中无处不在．想一想，它们都有什么相似之处？
你还能举出其他的例子吗？
思考
1.正方形的四条边有什么关系？四个角呢？
2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3.正方形具有哪些性质呢？
菱形
矩形
正方形
1. 矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
矩 形
〃
〃
正方形
活动
正方形
2. 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
活动
归纳
邻边相等
矩形
正方形
菱形
一个角是直角
正方形
∟
实践探究
探究1：正方形的概念
什么样的图形叫做正方形？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
有一个角是直角的菱形是正方形．
有一组邻边相等的矩形是正方形．
准备素材：直尺、量角器、纸片等．
（1）将长方形的纸片折出一个正方形．
探究2：正方形的性质
（2）用直尺和量角器测量正方形的四条边长度、四个角度数、对角线的长度及夹角度数和OA、OB、OC、OD的长度，并记录测量结果．
A
B
C
D
O
AB BC CD AD
（3）根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1 正方形的四个角都是直角，四条边相等．
猜想2 正方形的对角线相等且互相垂直平分．
∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD
AC BD
∠AOB OA OB OC OD
证一证
1. 已知：如图，四边形ABCD是正方形．
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角．
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
2. 已知：如图，四边形ABCD是正方形．对角线AC、BD相交于点O．求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD．
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
活动
折一张正方形纸片，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
正方形是轴对称图形，有4条对称轴．
结论
归纳总结
正方形的性质：
(1)边的性质：对边平行且相等，四条边都相等．
(2)角的性质：四个角都是直角．
(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴，也是中心对称图形．
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形,也是特殊的菱形，所以矩形、菱形有的性质，正方形都有．
议一议
平行四边形
菱形
矩形
正方形
应用举例
例1
如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
A
B
D
C
F
E
【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
C
F
E
M
如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长．
例2
【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
A
B
C
D
O
E
F
解：过点E作EF⊥CD于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴EF＝DF.
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF.
又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，
∴Rt△CEO≌Rt△CEF.
A
B
C
D
O
E
F
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝ ，
∴CO＝ AC＝ ，
∴CF＝CO＝ ，
∴DF＝DC－CF＝1－ ，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE＝ ＝ －1.
A
B
C
D
O
E
F
例3
如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°.
例4
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, BD垂直平分AC, ∴AP=PC.
∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF.
∴AP=EF.
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明．
点拨
随堂练习
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　　)
A．对角线互相平分 B．对角线相互垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 (　　)
A．14 B．15 C．12 D．17
A
C
A
B
C
D
E
F
60°
3. 已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为________和________．(只写一组)
4. 如图，在正方形ABCD中，E是对角
线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的
度数是 .
A
D
B
C
O
E
(1，0)
(1，1)
22.5°
5.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．
解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，
∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠AGF＝90°，
∴△ABF≌△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；
即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝(∠DAG＋∠BAG)
＝∠DAB＝45°，
故∠EAF＝45°．
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质