2.1　认识一元二次方程 课件 (共17张PPT)

(共17张PPT)
北师大版 九年级上册
2.1 认识一元二次方程
情景导入
一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
实践探究
一元二次方程
探究1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为
m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8 - 2x)
(5 - 2x)
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
x
x
(8 – 2x)
x
x
(5 – 2x)
探究2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　
根据题意，可得方程：　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙
　　　m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m ,
根据题意，可得方程：
探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
6
(x+6)
72 + (x + 6)2 = 102.
化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③
10m
8m
1 m
x m
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
活动总结
观察上述方程①、 ②、 ③，它们有什么共同特点呢？
2x2－13x＋11＝0 ①
x2－8x－20＝0 ②
x2＋12x－15＝0 ③
特点：1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数是2；
3.整式方程．
归纳总结
方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)
一元二次方程的一般形式
ax2是二次项， a是二次项的系数，
bx是一次项， b是一次项系数，
c是常数项．
应用举例
例1
下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
(1) 7x2－6x＝0；　　　(2) 2x2－5xy＋6y＝0；
(3) 2x2－ －1＝0; (4) ＝0；
(5) x2＋2x－3＝1＋x2.
【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．
解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项．
关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程．
【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程．
例2
≠±1
＝－1
例3
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
点拨
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；
一次项是-8x,系数是-8；
常数项是-10.
例4
随堂练习
1．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为 (　 　)
A．x2＋ x＋ ＝0 B．x2－6x－3＝0
C．x2－ x－ ＝0 D．x2－ x＋ ＝0
2．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________
2x2－x－7＝0
C
3.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2.
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200 cm,宽150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π 取3）.
解：由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意有，
200 cm
150 cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，
整理，得 25x2＋50x－11＝0 ②
根据题意有， 75(1＋x)2＝108
课堂小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
未知数的最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；