2.3.1 公式法 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
北师大版 九年级上册
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时　公式法
复习导入
回顾配方法
用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.
解：方程两边都除以 3，得
x2 - 2x - 3 = 0
移项，得
x2 - 2x = 3
配方，得
x2 - 2x + 1 = 3 + 1
(x - 1)2 = 4
两边开平方，得
x - 1= ±2
x1= 3，x2= -1
实践探究
探究1：推导求根公式
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0).
方程两边都除以a，得
解:
移项，得
配方，得
即
能用直接开平方解吗？
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ≥0时，
∵a ≠0,4a2>0，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
归纳总结
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
注意
探究2：认识根的判别式
什么叫一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式？如何运用根的判别式判断根的情况？
(1)把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．
(2) 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根．
归纳
用求根公式法解一元二次方程x2－2x＝8时，应先把方程化成一般形式为_______________，再计算出b2－4ac＝____．最后利用公式求得方程的两个根为x1＝_____，x2＝_____．
练一练
x2－2x－8＝0
4
－2
36
应用举例
例1
解方程：x2-7x-18=0
解：这里a＝1，b＝－7，c＝－18.
∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，
即：x1＝9，x2＝－2；
解方程：4x2+1=4x
解：将原方程化为一般形式，得：4x2－4x＋1＝0.
这里a＝4，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，
例2
解方程： （精确到0.001）.
解：
用计算器求得：
例3
解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
例4
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．
【方法指导】先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．
例5
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根．
∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，
∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．
归纳总结
(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根，即
(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
随堂练习
1．一元二次方程2x2－x＋1＝0的根的情况是 (　 　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (　 　)
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
C
D
3．用公式法解下列方程：
(1) 6x2－x－2＝0； (2) 4x2－7x＋1＝0； (3) 2x2－2x＋3＝0.
解：(1)x1＝ ，x2＝－ ；
(2)x1＝ ，x2＝ ；
(3)此方程无实数根．
4．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解：这个三角形的三条边长分别为6，8，10.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式