2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
北师大版 九年级上册
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
复习导入
将下列各式分解因式：
(1)5x2－4x＝_____________；
(2)x2－4x＋4＝___________；
(3)4x(x－1)－2＋2x＝_________________；
(4)x2－4＝_______________；
(5)(2x－1)2－x2＝________________．
x(5x－4)
(x－2)2
2(x－1)(2x＋1)
(x＋2)(x－2)
(3x－1)(x－1)
实践探究
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x.
根据题意，可得方程x2＝3x.
但他们的解法各不相同：
小颖的解法：
由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.
这里a＝1，b＝－3，c＝0.
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，
∴x＝ .即x1＝3，x2＝0，
∴这个数是3或0.
小明的解法：
方程x2＝3x两边同时约去x，
得x＝3，
∴这个数是3.
小亮的解法：
由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，
即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.
∴x1＝3，x2＝0，
∴这个数是3或0.
解法分析
(1)以上三种解法对吗？为什么？
(2)三种解法分别用的是什么方法？
(3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？
(4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01 s)
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
解：
解：
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
∴ b2－4ac
= (－10)2－4×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
4.9x2-10x=0.
化为一般形式为
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
因式分解法是不是很简单？
10x-4.9x2 =0 ①
x(10-4.9x) =0 ②
x =0
10-4.9x=0
归纳总结
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移—方程的右边=0;
二分—方程的左边因式分解;
三化—方程化为两个一元一次方程;
四解—写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
应用举例
解下列方程：
(1) 5x2 = 4x； (2) x(x – 2) = x – 2.
解：(1)原方程可变形为
5x2 – 4x = 0 ，
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x – 4 = 0.
(2)原方程可变形为
x(x – 2) – (x – 2) = 0 ，
(x – 2)(x – 1) = 0 ，
x – 2 = 0 ，或 x – 1 = 0.
x1 = 2 ，x2 = 1.
例1
用适当的方法解下列方程：
(1) 3x(x＋5)＝5(x＋5)； (2) 3x2＝4x＋1； (3) 5x2＝4x－1.
方法指导：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解．能用因式分解法或直接开平方法的，选用因式分解法或直接开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根．没有特殊要求时，一般不用配方法.
例2
解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，
(x＋5)(3x－5)＝0，
x＋5＝0，或3x－5＝0，
∴x1＝－5，x2＝ ；
(2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0.
这里a＝3，b＝－4，c＝－1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ；
(3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0.
这里a＝5，b＝－4，c＝1.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
用适当的方法解方程：
(1)（5x + 1）2 = 1； (2) x2 - 12x = 4.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得， x 1= 0 , x2=
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得
x1= , x2=
练一练
填一填
各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
随堂练习
用因式分解法解下列方程：
(1) (x + 2)(x - 4) = 0； (2) 4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：(1)
x + 2 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -2，x2 = 4.
(2)原方程可变形为
4x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(4x - 3) = 0
2x + 1 = 0 或 4x - 3 = 0
(3) (2x + 3)2 = 4(2x + 3)； (4) 2(x - 3)2 = x2 - 9.
(3) 原方程可变形为
(2x + 3)2 - 4(2x + 3)= 0
(2x + 3)(2x + 3 - 4)= 0
2x + 3 = 0 或 2x – 1 = 0
(4) 原方程可变形为
2(x - 3)2 = (x + 3)(x - 3)
2(x - 3)2 - (x + 3)(x - 3) = 0
(x - 3) [2(x - 3)-(x + 3)] = 0
(x - 3) (x - 9) = 0
x1 = 3，x2 = 9.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是
________.
3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为___________；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=_____, x2=_____.
x2+x–2=0
－2
1
0 或
4．已知三角形的两边分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，
得x1＝7，x2＝10.
∵当x＝10时，3＋7＝10，不符合三角形的三边关系，
∴x2＝10不合题意，舍去．
∴x＝7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).