2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
北师大版 九年级上册
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
复习导入
数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一元二次方程的解法，回顾一元二次方程的解法一共有几种？
1．一元二次方程的解法：
(1) 配方法；
(2) 直接开平方法；
(3) 公式法；
(4) 因式分解法．
2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．
(1) x2－2x－3＝0；　　 (2) x2＋4x＋3＝0；
(3) x2－5x－6＝0； (4) x2＋7x＋12＝0.
解：(1) (x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1；
(2) (x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1；
(3) (x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1；
(4) (x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4．
3．根据方程的根的情况，完成下列问题．
(1)x2－2x－3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；
(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；
(3)x2－5x－6＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；
(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___．
3
－1
2
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－1
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－4
3
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－1
5
－6
－3
－4
－7
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你发现了什么规律？
实践探究
1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2＋3x－4＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
6x2＋x－2＝0
1
1
2
－4
－3
－4
－5
2.在前面学过利用公式法求解一元二次方程，对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求根公式是
能得出以下结果：
证一证：
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1、 x2，
那么 ，
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0
应用举例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1) x2 + 7x + 6 = 0； (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
例1
方法指导：利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况．
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
(1) x2 + 7x + 6 = 0;
(2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
例2
方法指导：(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤ ；
(2)由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1.
∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，
∴2×(－3)＋m－1＋10＝0.
∴m＝－3.
若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，则k＝_____．
例3
方法指导：应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式．
解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1.
当k＝1时，Δ＜0；
当k＝－1时，Δ＞0.
综上所述，k＝－1.
－1
练一练
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝(　　)
A．－10　　　B．10　　　C．2　　　D．－2
2．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________．
C
2015
3.设x1, x2为方程x2–4x+1=0的两个根，则:
(1) x1+x2= , (2) x1·x2= ,
(3) x12+x22= ,
(4) (x1–x2)2= .
4
1
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随堂练习
1．利用根与系数的关系，求出下列方程的两根之和、两根之积.
(1)2x2－3x－4＝0；　　(2)x(2x－1)－2＝0.
解：(1)这里a＝2，b＝－3，c＝－4.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝ ，x1x2＝－2；
(2)原方程可化为2x2－x－2＝0，
这里a＝2，b＝－1，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－2)＝1＋16＝17＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1＋x2＝ ，x1x2＝－1.
2．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则另一个根是_____．
3．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是6，则m＝______，另一个根是______．
0
－5
－1
【解析】x1＋x2＝－ ，
x1x2＝－ ，
＋ ＝ ＝ ＝ .
4．若方程3x2＋2x－5＝0的两个根为x1，x2，则 ＋ ＝___．
5．方程 x2－(k＋1)x＋ k2＋1＝0的两个实数根x1，x2，且x1x2＝5，则k的值为_____．
【解析】由题可知：
Δ=[－(k+1)]2－4( k2+1)≥0，
x1x2= k2+1=5.
解得
∴k＝4.
k＝±4.
k≥ ，
4
6．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么
课堂小结
内容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应用
根与系数的关系（韦达定理）