4.3 相似多边形 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
4.3 相似多边形
北师大版 九年级上册
情景导入
观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？
(1)
(2)
(3)
实践探究
探究1：相似多边形的概念和性质
1．在这两个多边形中，是否有相等的内角？ 夹相等内角的两边是否成比例？
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
归纳总结
相似多边形的定义：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2．相似用“∽”表示，读作“相似于”．例如在图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF
∽六边形A1B1C1D1E1F1.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
3．相似多边形对应边的比叫做相似比．例如，五边形ABCDE∽五边形A1B2C1D1E1，对应边的比 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为k1＝ ，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比为k2＝ .
讨论：下面每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
(1)正三角形ABC与正三角形DEF
(2)正方形ABCD与正方形EFGH
解：(1)由于正三角形每个内角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°；由于正三角形三边相等，所以
(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°；由于正方形四边相等，所以
归纳总结
相似多边形的特征：
相似多边形的对应边成比例，对应角相等.
探究2：相似多边形的判定
1．想一想：
(1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？
(2)任意两个菱形相似吗？
2．观察下面两组图形，提出问题：
图①中的两个图形相似吗？为什么？
图②中的两个图形呢？
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
1
1
图①
正方形
1
1
0.8
图②
正方形
归纳总结
相似多边形必须同时具备两点：
对应角相等、对应边成比例.
应用举例
一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
方法指导：对应边成比例的两个矩形相似．
例1
解：不相似．理由如下：
内边缘矩形长3 m，宽1.5 m，
外边缘所成的矩形长为3＋0.075×2＝3.15(m)，
宽为1.5＋0.075×2＝1.65(m).
∴边框的内外边缘所成的矩形的长之比为 ＝ ，
宽之比为 ＝ .
∵ ≠ ，
∴边框的内外边缘所成的矩形不相似．
如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1＝_____，AD＝_____．
方法指导：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得．
解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠1＝∠B＝70°， ＝ ，即 ＝ ，
解得AD＝28.
例2
A
B
C
D
24
2
80°
70°
A′
B′
C′
D′
18
21
80°
1
70°
28
方法指导：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其他边的长，就可求得周长．
设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1、D与D1是对应点，已知AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，求四边形A1B1C1D1的周长．
例3
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，
∴B1C1＝12，C1D1＝12，D1A1＝6，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝8＋12＋12＋6＝38.
随堂练习
1．如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B＝75°，则∠B′的度数是 (　 　)
A．15° B．25° C．75° D．105°
2．如果一个矩形对折后所得到的矩形与原矩形相似，则此矩形的长边长与短边长的比是 ( 　　)
A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. : 1 D. 1 :
C
C
3．△ABC∽A′B′C′，相似比为 ，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，则A′C′＝_____，B′C′＝_____，A′B′＝_____，∠C′＝_____．
4. 如图，有两个形状相同的星星
图案，则 x 的值为____．
5
90°
8
5．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由.
解：(1)相似．理由如下：
∵ ＝ ＝1.5，
且矩形的每个内角均为90°，
∴该组两个矩形相似；
2
3
3
4.5
（1）
2
3
2.5
6
（2）
(2)不相似．理由如下：
∵ ≠ ，
∴该组两个矩形不相似．
6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求EF的长．
解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF.
∴EF2＝AD·BC＝4×9＝36，
∴EF＝6.
7. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求BC长；
A
B
C
D
E
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1，
∴ ，
∴ AB2 = AE·BC，
∴ ,
解得
(2) 求矩形 EABF与矩形 ABCD 的相似比.
A
B
C
D
E
F
解：矩形 EABF 与矩形 ABCD的相似比为：
课堂小结
对应角相等，对应边成比例
相似多边形对应边的比叫做相似比
相似多边形
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似多边形
相似图形的大小不一定相同