4.4.1 相似三角形的定义及其判定定理1 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
北师大版 九年级上册
4.4 探索三角形相似的条件
第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1
情景导入
问题1：相似多边形的定义是什么？
问题2：你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
问题3：相似三角形的定义既可以作为判定又可以作为性质，用几何语言如何表示？
如图，(1)在△ABC和△DEF中，
∵∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F, ＝ ＝ ，
∴____________________；
(2)在△ABC和△DEF中，
∵△ABC∽△DEF
∴___________________________________________________
△ABC∽△DEF
∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F,
＝ ＝
实践探究
探究1：动手操作、探索条件
问题1：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？
分组进行如下操作：分别画出一个三角形，使得其中一个角等于∠α，裁剪下来对比是否相似．
α
α
问题2：两个人合作，分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，思考：
(1)此时，∠C与∠C′相等吗？
(2)三边的比 ， ， 相等吗？
(3)这样的两个三角形相似吗？
改变∠α，∠β的大小，再试一试．
α
B
C
A
β
A′
B′
C′
α
β
探究2：三角形相似的判定定理
根据上述问题2，可以得出如下结论：
(1) 这样的两个三角形不一定全等；
(2) 两个三角形三个角都对应相等；
(3) 通过度量后计算，得到三边对应成比例；
(4) 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．
α
B
C
A
β
A′
B′
C′
α
β
证明：在△ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取
AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
D
E
试证明△A′B′C′∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
C
猜想三角形的判定定理：
两角对应相等，两三角形相似．
归纳总结
三角形相似的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似．
几何语言：
如图，在△ABC 和△DEF 中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DEF．
注意：表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
应用举例
如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7, AD=5, DE=10, 求BC的长.
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
∴BC=14.
B
A
D
E
C
例1
如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证：
D
C
A
B
E
F
例2
方法指导：可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个对应的三角形相似可以证明这个结论．
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA∽△FDB，
∴
D
C
A
B
E
F
如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
例3
证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC,∠DAE= ∠3+ ∠DAC,∠1=∠3,
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
A
B
C
D
E
1
1
3
2
O
∴
解：∵ ED⊥AB，
∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
∴
例4
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
点拨
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
练一练
随堂练习
1．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　 　)
(2)所有的直角三角形都相似．(　 　)
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　 　)
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　 　)
√
×
×
√
2．如图，请你添加一个条件：____________ (添加一个即可)，使得△ABC∽△ADE.
3.如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC．
A
B
D
C
A
B
C
D
E
DE∥BC
ACD
ACB
B
ADC
解：(1)△ABC∽△AED；
4．已知点D，E分别在线段AB，AC或它们所在的直线上，且∠1＝∠2，分别指出图中的相似三角形．
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)△ABC∽△ACD；
(3)△ABC∽△ADE；
(4)△ABC∽△AED.
5．已知△ABC中, AB＝AC, ∠A＝36°, BD是角平分线.
求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°．
在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，
∠A＝∠DBC＝36°，
∴△ABC∽△BDC．
6. 如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°．求证：△ABD∽△DCE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠EDC＝120°.
∴∠DAB＝∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
课堂小结
利用两角判定三角形相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用