4.4.2 相似三角形的判定定理2 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
北师大版 九年级上册
4.4 探索三角形相似的条件
第2课时　相似三角形的判定定理2
旧知回顾
1．相似三角形的定义是什么？
2．判断两个三角形相似，你有哪些方法？
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
方法1：通过定义(不常用)；
方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；
方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．
实践探究
探究1
1. 利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A′B′C′，使∠A=∠A′，
= ，量出∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′的大小)，△ABC 和△A′B′C′相似吗？
两个三角形相似
B
A
C
B'
A'
C'
2. 利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A′B′C′，使∠B=∠B′，
= ，量出∠A与∠A′的大小(或∠C与∠C′的大小)，△ABC 和△A′B′C′相似吗？
两个三角形相似
B
A
C
B'
A'
C'
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
证一证
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
归纳总结
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
不一定会相似．如图，
＝ ＝2，∠A=∠A′，
但△ABC和△A′B′′C′不相似．
探究2
如果△ABC与△A′B′C′的两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
A′
B′
C′
50°
2 cm
1.6 cm
A
B
C
50°
4 cm
3.2 cm
归纳总结
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
应用举例
如图，D，E分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
方法指导：相似三角形判定定理2及其应用．
例1
解：∵ AE=1.5，AC=2，
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
A
C
B
E
D
如图，已知△ABD∽△ACE. 求证：△ABC∽△ADE.
方法指导：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再进一步证明 ，则问题得证．
证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.
又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∵△ABD∽△ACE，
在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE.
例2
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
如图，在△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
例3
解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
点拨
练一练
1. 下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是 ( 　　)
A.
B. ∠B＝∠ADE
C.
D. ∠C＝∠AED
C
2.根据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC ∽△A′B′C′.
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB2＝DB·CE，
∴△ADB∽△EAC.
随堂练习
1．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是 (　 　)
A．AB·CD＝BD·BC
B．AC·CB＝CA·CD
C．BC2＝AC·DC
D．BD2＝CD·DA
A
B
C
D
C
2．下列条件能判断△ABC和△A′B′C′相似的是 (　 　)
C
3. 已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.
求证：△AEF∽△ACB.
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AEC∽△AFB，
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB.
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA，
∴ ，
∴
5. 如图，∠DAB ＝∠CAE，且 AB · AD ＝ AE · AC，
求证：△ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴△ABC ∽△AED.
6．如图，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳(AC和BD相等)去量，若OA : OC＝OB : OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.
解：∵OA : OC＝OB : OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ＝ ＝n，
则AB＝n·CD＝bn，
∴x＝ .
课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用