4.4.3 相似三角形的判定定理3 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版 九年级上册
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时　相似三角形的判定定理3
情景导入
如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
A
B
C
A′
B′
C′
实践探究
分别画△ABC 和△A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？△ABC 与△A′B′C′相似吗？
A
B
C
C′
B′
A′
探究1：三边成比例的两个三角形相似
思考
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，所以△ABC∽△A′B′C′.
猜想：三边成比例的两个三角形相似.
A
B
C
C′
B′
A′
∴
C′
B′
A′
证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
证一证
归纳总结
三角形相似的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似．
几何语言：
如图，在△ABC与△DEF中，
∵ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△DEF.
B
A
C
D
F
E
探究2
(1)如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
A
B
C
7
10
5
D
E
F
5
6
2.5
(1)
A
B
C
6
4
7
E
D
F
3
2
3.5
(2)
(2)一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？
① 将三角形的边按大小顺序排列：
6 cm， 7.5 cm，9 cm
8 cm， 10 cm，12 cm
② 分别计算它们对应边的比：
③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例：
，这两个三角形相似
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
A
B
C
A′
B′
C′
假设每一小格的边长为1，
拓展提升
所以△ABC与△A′B′C′相似.
4
8
归纳总结
已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，看最短(长)边与最短(长)的比是否成比例．
应用举例
∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC
＝∠DAE－∠DAC，即 ∠BAD =∠CAE.
∵∠BAD = 20°，
∴∠CAE = 20°.
如图，在△ABC 和△ADE 中，
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
例1
如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1＋∠2＋∠3＝90°.
方法指导：运用勾股定理分别求出BE，CE，DE的长度(用λ表示)，求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE，再借助三角形外角的性质即可解决问题．
A
B
C
D
E
F
G
H
例2
解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理，得BE2＝λ2＋λ2，CE2＝(2λ)2＋λ2，DE2＝(3λ)2＋λ2，
∴BE＝ λ，CE＝ λ，DE＝ λ，
∴ ＝ ＝ ，
同理可求： ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，∴△BEC∽△BDE，
∴∠2＝∠BED.
∵∠1＝∠BED＋∠3，且∠1＝45°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝90°.
A
B
C
D
E
F
G
H
如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－
4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴△A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
∴ BC=2B′C′，
例3
1. 已知△ABC 和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB＝12， BC＝15， AC＝24，
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2) AB＝4， BC＝8， AC＝10，
DE＝20， EF＝16， DF＝8；
(1) AB＝3， BC＝4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
练一练
解：在△ABC 和△ADE 中，
∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
2. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
A
B
C
D
E
随堂练习
1．甲三角形的三边分别为1， ， ，乙三角形的三边分别为 ， ，5，则甲、乙两个三角形 (　 　)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断是否相似
2．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 (　 　)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
A
C
3．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
解：(1)△ABC与△DEF不相似．
∵ ＝ ＝2， ＝ ，
＝ ＝ ，
∴△ABC与△DEF不相似；
A
B
C
7
10
5
D
E
F
5
6
2.5
(1)
(2)△ABC∽△EFD.
∵ ＝2， ＝2， ＝2，
∴ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△EFD.
A
B
C
6
4
7
E
D
F
3
2
3.5
(2)
4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，
求证：△ABC∽△EFD．
∴△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB ＝ 14 千米，AD = 28 千米，BD＝21 千米，BC=42千米，DC＝31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∵
∴△ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
课堂小结
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用