4.4.4 黄金分割 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版 九年级上册
4.4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
情景导入
神奇的金字塔
美丽的大自然
迷人的芭蕾舞
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
实践探究
1．如图，动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，再计算 与 的值，你有什么发现？
探究1
解： ＝
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
＝ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点______叫做线段_______的黄金分割点，_______与_______的比叫做黄金比．
探究2
C
AB
AC
AB
探究3
一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比
＝ ，所以一条线段有_____个黄金分割点．
2
A
B
点1
点2
应用举例
例1
如图，计算黄金比．
解：由 = ，得AC2= AB·BC.
设AB = 1，AC = x，则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1= ，x2= （不合题意，舍去）
黄金比 = ≈ 0.618.
A
B
C
如何找到一条线段的黄金分割点？
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使BD＝ AB；
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；
(3)在AB上截取AC＝AE，则点C即为线段AB的黄金分割点．
提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？
例2
A
B
D
E
C
解：AB＝2，则BD＝DE＝ AB＝1.
∴AD＝ ＝ ，∴AC＝AE＝AD－DE＝ －1，
∴BC＝AB－AC＝2－( －1)＝3－ ，
∴AC2＝( －1)2＝6－2 ，AB·BC＝2×(3－ )＝6－2 .
∴AC2＝AB·BC，即 ＝ .
∴点C是线段AB的黄金分割点．
A
B
D
E
C
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
方法指导：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度．
例3
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
练一练
1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式成立的是 (　　)
A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC
C
A
B
C
2．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是 (　　)
A
3．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC : AB为(　　)
D
随堂练习
1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝ ，那么下列说法错误的是 (　 　)
A．线段AB被点C黄金分割 B．点C叫做AB的黄金分割点
C．AC与AB的比叫做黄金比 D．AC＝ BC
2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比．已知这本书的长为10 cm，则它的宽约为 (　 　)
A．6.18 cm B．6.80 cm C．16.18 cm D．3.82 cm
D
A
3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝______．
4．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为______cm.（结果精确到0.1 cm）
135°
6.2
5．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，使EF＝EB.以线段AF为边作正方形AFGH，点H在AB上，如图所示．
(1)求线段AH，BH的长；
(2)求证：AH2＝AB·BH；
(3)根据(2)中的结论，你能找出图中的
黄金分割点吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：(1)E为AD的中点，∴AE＝1.
在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22.
∴BE＝ ，∴EF＝BE＝ .
∴AF＝ －1.
∵四边形AFGH是正方形，
∴AH＝AF＝ －1，
∴BH＝AB－AH＝2－( －1)＝3－ ；
A
B
C
D
E
F
G
H
(2)AH2＝( －1)2＝6－2 ，
AB·BH＝2×(3－ )＝6－2 ，
∴AH2＝AB·BH；
(3)H是线段AB的黄金分割点．
A
B
C
D
E
F
G
H
6. 如图：在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD.
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点．
课堂小结