4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
4.5 相似三角形判定定理的证明
北师大版 九年级上册
情景导入
我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？
(1)两角分别相等的两个三角形相似；
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似．
你能证明它们一定成立吗？
实践探究
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，
∠B =∠B'.
求证：△ABC ∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
探究1：判定定理1的证明
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
E
D
F
∠1=∠B，∠2 =∠C，
∴ ∴
A′
B′
C′
A
B
C
1
2
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC
于点 F,则
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.
∴ ∴
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
E
D
F
A′
B′
C′
A
B
C
1
2
∵∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，
∴△ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴△ABC ∽△A'B'C'.
E
D
F
A′
B′
C′
A
B
C
1
2
问题1：证明过程中共作了几条辅助线，各辅助线是如何添加的？作辅助线的目的是什么？
思考
截取线段找点D→作两条平行线→线段成比例
问题2：证得四边形DFCE是平行四边形目的是什么？
平行四边形→线段相等→三边成比例
问题3：根据什么证得△ADE∽△ABC
相似三角形的定义．
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知
∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
B'
A'
C'
判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
探究2：判定定理2，3的证明
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC . 又∠A′=∠A.
∴ △A′DE ≌△ABC，
∴ △A′B′C′ ∽△ABC.
∵ A′D=AB，
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，
求证：△ABC ∽△A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
B
∴
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，
∴ △ADE∽△ABC.
E
D
A′
B′
C′
A
C
B
又 ，AD=A′B′，
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
∴ ， .
E
D
A′
B′
C′
A
C
B
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
思考
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？
定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．
应用举例
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.
证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.
例1
已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.
求证：△DBE∽△ABC.
例2
方法指导：由已知条件∠ABD＝∠CBE,∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个
角的两边对应成比例．从已知条件
中可看到△CBE∽△ABD，这样既
有相等的角，又有成比例的线段，
问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，
∴△DBE∽△ABC.
∴ ，即： .
∴∠DBE＝∠ABC且 ，
已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点， ∠CBD的平分线交AC于E点，且AE=AB.
求证AE2＝AD·AC.
证明：∵BE为∠DBC平分线，
∴∠DBE＝∠EBC.
又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，
B
D
E
C
A
例3
∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∵AB＝AE，
即AE2＝AD·AC.
∴△ABD∽△ACB.
B
D
E
C
A
随堂练习
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 (　 　)
A．只有1个 B．可以有2个
C.有2个以上但有限 D．有无数个
B
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长
为_______．
A
B
C
D
E
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.
求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠BAC＝40°.
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°.
∴∠DBC＝∠BAC.
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
A
B
C
D
E
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明.
答：相似．
证明： ∵△ABC为等边三角形．
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
E
B
C
D
F
又∵AE＝BF＝CD，
∴AD＝FC＝EB，
则△AED≌△CDF≌△BFE.
∴ED＝DF＝EF.
即△EDF为等边三角形.
∴△DEF∽△ABC.
A
E
B
C
D
F
5．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，
BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.
证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，
∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.
∴AB2＝BD·BC.
而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.
6.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为
4cm/s，如果P,Q两动点同时
运动，那么何时△PBQ与
△ABC相似？
A
B
C
P
Q
解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，
①△PBQ∽△ABC，
解得t＝2s.
②当△PBQ∽△CBA，
答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．
解得t＝0.8s.
A
B
C
P
Q
课堂小结