4.7.1 相似三角形中的对应线段之比 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
北师大版 九年级上册
4.7 相似三角形的性质
第1课时　相似三角形中的对应线段之比
情景导入
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是什么？
3．相似三角形的判定方法有哪些？
4．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
5．相似三角形还有其他的性质吗？
实践探究
探究1
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图，小王依据图纸上的△ABC，以1 : 2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
思考
问题1：试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系．
问题2：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
问题3：如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
问题4：据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？
相似三角形对应高的比等于相似比．
归纳
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
探究2：探索相似三角形对应线段的比
思考
已知：△ABC ∽△A′B′C′,相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。
A
B
C
A′
B′
C′
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出△ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
∴ ＝ ＝k，
A
B
C
F
A′
B′
C′
F′
A
B
C
E
A′
B′
C′
E′
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线比等于相似比.
归纳总结
1．相似三角形对应边的比等于________．
2．相似三角形的各对应角_______，各对应边_________．
3．相似三角形对应高的比、对应__________的比、对应________的比都等于相似比．
相似比
相等
成比例
角平分线
中线
应用举例
例1
如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E．当SR＝ BC时，求DE的长．如果SR＝ BC呢？
方法指导：相似三角形的判定及相似三角形的性质．
B
A
E
R
C
D
S
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
B
A
E
R
C
D
S


B
A
E
R
C
D
S
如图，CD是Rt△ABC 的斜边AB上的高．
(1)则图中有几对相似三角形？
(2)若AD＝9 cm，CD＝6 cm，求BD；
(3)若AB＝25 cm，BC＝15 cm，求BD.
方法指导：相似三角形的判定和性质的综合应用．
例2
A
B
C
D
解：(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.
在△ADC和△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB，△ADC∽△CDB.
所以图中有三对相似三角形；
A
B
C
D
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BD＝4 cm；
(3)∵△CBD∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，BD＝ ＝9 cm.
A
B
C
D
随堂练习

2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm.则△ABC与△A′B′C′对应高的比为_______．
C
8：3
3．如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2 m，CD=4 m，点P到CD的距离是3 m，则P到AB的距离是 m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
4．如图，在△ABC中，内接矩形DEFG的一边DE在BC上，AH是BC上的高，AH交GF于点K，BC＝48，EF＝10，DE＝18.求AK的长．
解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，GF＝DE＝18，KH＝FE＝10，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AK＝6.
A
B
C
D
E
F
G
H
K
5．已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm，EF=4 cm，BG=4.8 cm.求EH的长.
解：∵△ABC∽△DEF， 　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2 cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
6．如图，△ABC是一张锐角三角形硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：
(2)求矩形EFGH的周长．
解：(1)易得AM⊥HG，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴
(2)由(1)得：
设HE＝x cm，则MD＝HE＝x cm，
∵AD＝30 cm，∴AM＝(30－x) cm.
∵HG＝2HE，∴HG＝2x cm，
解得，x＝12，2x＝24，
所以矩形EFGH的周长为：2×(12＋24)＝72(cm)．
课堂小结