4.7.2 相似三角形中的周长和面积之比 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
北师大版 九年级上册
4.7 相似三角形的性质
第2课时　相似三角形中的周长和面积之比
情景导入
那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
实践探究
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？面积比呢？
解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′,
探究1
(2)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
A
B
C
A′
B′
C′
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
归纳总结
相似三角形的周长比等于相似比．
相似三角形的面积比等于相似比的平方．
探究2
如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，其相似比为k，试回答下面问题：
(1)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是______．
(2)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是______．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
k : 1
k2 : 1
两个相似五边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？
两个相似的n边形呢？
无论是三角形、四边形、还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
思考
归纳总结
相似多边形的周长比等于相似比．
相似多边形的面积比等于相似比的平方．
应用举例
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 　
例1
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似)
B
A
D
E
C
F
G
即，△ABC平移的距离为
B
A
D
E
C
F
G
方法指导：(1)用同一个字母k表示出x，y，z，再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长之差进行求解．
(1)已知 ＝ ＝ ，且3x＋4z－2y＝40，求x，y，z的值；
(2)已知两相似三角形对应高的比为3 : 10，且这两个三角形的周长之差为560 cm，求它们的周长．
例2
解：(1)设 ＝ ＝ ＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，
由于3x＋4z－2y＝40，
∴6k＋20k－6k＝40，∴k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝10；
(2)设一个三角形周长为C cm，
则另一个三角形周长为(C＋560)cm，则 ＝ ，
∴C＝240，则C＋560＝800，
即它们的周长分别为240 cm，800 cm.
1.如图，在△ABC和△DEF中，G,H分别是边BC和EF的中点，已知AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。
D
E
H
F
A
B
G
C
（1）中线AG与DH的比是多少？
（2）△ABC与△DEF的面积比是多少？
练一练
解：(1)∵AB＝2DE，
AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.
∴△ABC∽△DEF，相似比为2 : 1，
∴中线AG与DH的比是2 : 1；
(2)△ABC与△DEF的面积比是4 : 1.
D
E
H
F
A
B
G
C
2．在□ABCD中，BE＝2AE，若S△AEF＝6，求S△CDF.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∵BE＝2AE，
∵CD＝AB，
∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54.
随堂练习
1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为 (　 　)
A．8，3　　B．8，6　　C．4，3　　D．4，6
2．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积
缩小到原来的 ，那么边长应缩小到原来的_____．
A
3．若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为______．
15cm
，则较小三角形的周长为____cm，面积____cm2.
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2
14
5．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
A
B
C
E
F
D
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点．
∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且 ＝ ，
∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，
∴△AEF∽△ABD.
∴ ＝( )2＝ .
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
∴ ＝ .
∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
A
B
C
E
F
D
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求△ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
A
B
C
D
F
E
∴ AE : EC=2 : 3，则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，
∴ S△ABC = 25.
课堂小结